Olympic DBSCL

Gem · 05-01-2009, 09:20 PM

Lời giải của Chinh không thật sự tự nhiên khi phải trả qua thêm 1 bước CM 1 bđt trung gian - là một điều ta chỉ nên ..tung chưởng khi gặp 1 bài BĐT khó hơn,
Đối với bài BĐT này cũng không có gì quá phức tạp.

Hãy cùng Gem phân tích 1 chút xíu trước khi ta giải :

Đề bài cho các số dương x,y,z và có tổng bình phương bằng 1 thì một cách tự nhiên ai ai cũng nghĩ đến Cô si ( thật ra theo nước ngoài là AM- GM mà Gem có pót bên kia ) đó là cách suy nghĩ chính xác. Cái khó là áp dụng cho mấy số và là số nào.

Ta thấy các dữ kiện sau , tổng bình phương =1, với x,y,z là các số dương ngang hàng, thôi thì nếu xảy ra dấu bằng thế thì
$x = y = z = \sqrt {\frac{1}{3}}$ cái này thì trung bình cộng chắc ai cũng biết rồi.

vậy thì nếu thế vào VT =
$\frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y} \ge \sqrt 3$

Bình phương 2 vế :

$<br /> \frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }} + \frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }} + \frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }} + 2\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right) \ge 3 = 3.1 = 3\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)$

Như vậy cái ta cần là phải CM cái BĐT này :

$\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }} + \frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }} + \frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }} \ge \left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)$

Đến đây áp dụng Cô Si 2 số cộng vế với vế :

$2(\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }} + \frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }} + \frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }}) = (\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }} + \frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }}) + (\frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }} + \frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }}) + (\frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }}\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }}) \ge 2\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)<br />$

( đạp phải cứt mèo )

Dấu "=+ xảy ra như ở trên í.

Thật ra bài này nhạy theo bài :

France Pre - MO 2005 :

Cho các số thực dương x,y,z, thõa mãn $x^2 + y^2 + z^2 = 3$
$CMR:$

$\frac{{xy}}{z} + \frac{{zx}}{y} + \frac{{yz}}{x} \ge 3$

Đó cũng là lý do vì sao cuộc thi ĐBSCL ít được học sinh trong giới đánh giá cao là vậy.