Đề thi HSG cấp tỉnh vòng 1 năm học 2007-2008

myhanh · 25-11-2007, 07:07 AM

Ngày thi 13/11/2007
Thời lượng:180 phút (không kể phát đề)
Câu 1 (3đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C):y=1/x. Trên đường cong này lấy 3 điểm phân biệt A, B, C. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên đường cong (C).
Câu 2 (3đ) Giải phương trình:
|ln(x^2-x+1)|+|ln(2*x^2-x+1)| = |ln[(x^2-x+1)*(2*x^2-x+1)]|
Câu 3 (2,5đ)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi d là tiếp tuyến tại B của đường tròn O, MN là đường kính thay đổi quay quanh O (M,N là hai điểm thuộc đường tròn). Đường thẳng đi qua M và vuông góc với d cắt AN tại H. Tìm quỹ tích của H khi M chạy trên đường tròn.
Câu 4 (1,5đ)
Cho hai số thực x,y thỏa mã điều kiện 0<=x<=y<=6 và x+y <=10. Chứng minh rằng x^2+y^2 <= 52.

myhanh · 25-11-2007, 07:09 AM

Nhận xét:
Đề bài quá dễ và chỉ bao gồm những kiến thức nằm trong SGK do đó một học sinh bình thường cũng có thể giải được chứ không cần học sinh giỏi.
Câu hơn thua điểm nhau theo myhanh là câu số 4.
Xin mời các bạn yêu toán cùng myhanh giải nha!

LeGiang · 25-11-2007, 08:42 AM

Trích:

Nguyên văn bởi myhanh

Câu 2 (3đ) Giải phương trình:
[IMG]http://img256.images****.us/img256/1254/59444010af6.gif[/IMG]

đặt hai biến mới u và v để xét:
[IMG]http://img413.images****.us/img413/7044/1agn7.gif[/IMG]

dấu bằng xảy ra:

[IMG]http://img225.images****.us/img225/9291/1bjt0.gif[/IMG]

ta sẽ xuất hiện hai trường hợp:

[IMG]http://img267.images****.us/img267/3307/44751965dk8.gif[/IMG]
[IMG]http://img98.images****.us/img98/8559/99833652nf9.gif[/IMG]

tổng hợp hai bộ nghiệm trên ta được đáp án của bài toán:

[IMG]http://img216.images****.us/img216/2998/14201439du3.gif[/IMG]
[IMG]http://img87.images****.us/img87/6418/downloadxw7.gif[/IMG]

chinhlh · 25-11-2007, 08:48 AM

Câu 4.
Từ đề bài ta suy ra 4<=x,y<=6. Suy ra (x-4)(x-6)<=0. Khai triển ta được x^2<=10x-24;y^2<=10y-24. Cộng lại thì được x^2+y^2<=10(x+y)-48<=52.

Câu 1: A(a,1/a); B(b,1/b); C(c,1/c). H(-1/abc,-abc).
Câu 2: pt tương đương với ln(x^2-x+1).ln(2x^2-x+1) >=0. Giải BPT này được x>=1 hoặc x<=1/2.
Câu 3: Xét phép đối xứng tâm A. Quỹ tích H là ảnh của đường tròn (O) qua phép DXT A

chinhlh · 25-11-2007, 08:51 AM

Bài 2 áp dụng dấu bằng trong bất đẳng thức |x+y|<=|x|+|y|.

chinhlh · 25-11-2007, 08:52 AM

Bài giải của Giang có thể làm gọn hơn nếu có nhận xét: u<=v

chinhlh · 25-11-2007, 09:07 AM

Đề thi này em thấy dễ quá anh My hanh ơi. Theo ý kiến riêng của em thì một đề thi như thế này không thể dùng để thi HSG được. Không biết đề thi vòng 2 có khá hơn không?

myhanh · 25-11-2007, 09:20 AM

Trích:

Nguyên văn bởi chinhlh

Câu 4.
Từ đề bài ta suy ra 4<=x,y<=6. Suy ra (x-4)(x-6)<=0. Khai triển ta được x^2<=10x-24;y^2<=10y-24. Cộng lại thì được x^2+y^2<=10(x+y)-48<=52.

Câu 1: A(a,1/a); B(b,1/b); C(c,1/c). H(-1/abc,-abc).
Câu 2: pt tương đương với ln(x^2-x+1).ln(2x^2-x+1) >=0. Giải BPT này được x>=1 hoặc x<=1/2.
Câu 3: Xét phép đối xứng tâm A. Quỹ tích H là ảnh của đường tròn (O) qua phép DXT A

Chính giải sai các điểm sau:
1.Quỹ tích xủa H là H((O),A) nhưng bỏ đi 1 điểm đó là điểm H(B,A). Trong đó H(X,Y) là ảnh của điểm X hay hình X qua tâm Y. Cái này sẽ mất đi chừng 0.5-1 điểm vì câu này đến 3 điểm.
2. Câu 1. Từ đề bài hoàn toàn không thể suy ra 4<=x,y<=6 đâu nha mà em phải đi chia khoản để chứng minh. Vì x=y=1 vẫn thoả đề bài vậy.
3. Câu 1 thì cái lỗi của học sinh khi giải là không lý luận cho a,b,c là ba số khác nhau. Theo anh chấm thiếu phần này trừ 0.5 điểm. Đề tài không hề cho a,b,c là ba số khác nhau do đó ta phải suy luận ra từ dạng của đường cong y=1/x.
Hi vọng lần sau đề sẽ khá hơn! Kỳ này chinhlh được 10 không?

myhanh · 25-11-2007, 09:24 AM

Trích:

Nguyên văn bởi LeGiang

đặt hai biến mới u và v để xét:
[IMG]http://img519.images****.us/img519/8517/20415687wj4.gif[/IMG]

ta sẽ xuất hiện hai trường hợp:

[IMG]http://img267.images****.us/img267/3307/44751965dk8.gif[/IMG]
[IMG]http://img98.images****.us/img98/8559/99833652nf9.gif[/IMG]

tổng hợp hai bộ nghiệm trên ta được đáp án của bài toán:

[IMG]http://img216.images****.us/img216/2998/14201439du3.gif[/IMG]
[IMG]http://img87.images****.us/img87/6418/downloadxw7.gif[/IMG]

Bài LeGiang lý luận sai ở điểm:
\u\+\v|<=\u+v\<=>u.v>=0
Không hề có điều này nha.
Cách giải ngắn gọn hơn là lập bảng xét dấu.
Thanx lời giải của LeGiang rất nhiều
Lý luận đúng phải là:
Bất đẳng thức:\u\+\v|<=\u+v\ xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi uv>=0. Đề bài cho trường hợp đẳng thức vậy phương trình đã cho tương đương với bất phương trình sau:
uv>=0.

LeGiang · 25-11-2007, 09:30 AM

Trích:

Nguyên văn bởi myhanh

Câu 4 (1,5đ)
Cho hai số thực x,y thỏa mã điều kiện [IMG]http://img512.images****.us/img512/7246/89976537ge6.gif[/IMG] và [IMG]http://img159.images****.us/img159/3745/70958142rn7.gif[/IMG]. Chứng minh rằng [IMG]http://img159.images****.us/img159/6351/68673149mk9.gif[/IMG].

theo hướng của chinhlh, ta có thể giải như sau:
xét hai trường hợp [IMG]http://img264.images****.us/img264/2498/77994916kp0.gif[/IMG] và [IMG]http://img107.images****.us/img107/7513/13239423uf0.gif[/IMG] :

TH1: [IMG]http://img264.images****.us/img264/2498/77994916kp0.gif[/IMG]
khi đó:
[IMG]http://img20.images****.us/img20/5417/10ty6.gif[/IMG]
Dấu "=" xảy ra <=> x=4 và y=6

TH2: [IMG]http://img107.images****.us/img107/7513/13239423uf0.gif[/IMG]
ta có:
[IMG]http://img230.images****.us/img230/2703/10ct7.gif[/IMG]

tương tự xét y, ta cũng được:

[IMG]http://img140.images****.us/img140/991/11gd1.gif[/IMG]

kết hợp (*) và (**), ta được:
[IMG]http://img265.images****.us/img265/6461/12wl3.gif[/IMG]
mà:
[IMG]http://img403.images****.us/img403/150/13jw6.gif[/IMG]
tóm lại =>(dpcm)!