Một bài phương trình hàm đặc sắc

chinhlh · 19-12-2008, 03:46 PM

Trình độ của BS Gau cũng tốt đấy. Bạn có thể thử sức với bài toán phương trình hàm và BDT sau [Đăng nhập để xem liên kết. ].
Ngày xưa khi học thầy Huy mình đã làm vài bài pth do chính thầy sáng tác. Hôm nay nhìn thấy hình thầy mình cảm thấy nhớ.
Ngay từ những ngày đầu bước vào trường thầy Huy thầy Hiệp đã nhắc đến anh Cát như là một biểu tượng để học trò noi theo. Mình đã cố gắng hết sức nhưng không làm được. Nay mới biết lovelqd chính là người mà mình đã thần tượng lâu rồi.
Chúc BS Gau lên đường thuận buồm xuôi gió.

Gem · 19-12-2008, 04:01 PM

xì, trên phố rùm ai ai cũng viết lovelqd là anh C ( Gem hay chọc với chị H ấy ), Chinh giờ này mới biết thì có lỗi rồi. Anh C thuộc thế hệ vàng của đội Toán, sau này chắc sẽ ko còn thấy thế hệ này nữa.

BS gau · 26-12-2008, 05:01 PM

Tìm tất cả các hàm f:R->R sao cho:
f(f(x+y))= f(x+y) + f(x)f(y) - xy

chinhlh · 26-12-2008, 06:42 PM

Tính được f(0)=0. Từ đó suy ra f(x).f(y)=xy và $f^2(x)=x^2$ . Nếu tồn tại x khác 0 sao cho f(x)=x thì suy ra f(y)=y với mọi y. Hàm f(x)=-x không thỏa yêu cầu bài toán.
Việc tính f(0) là không khó.

Le.Giang · 26-12-2008, 10:16 PM

Trích:

Nguyên văn bởi BS gau

f(x+f(y))+f(x*f(y)) = y+ f(x)+ y*f(x)

cho x=y=0, ta được: f(f(0))=f(0), đặt f(0)=a, ta được f(a)=a (1)

cho x=0, ta được f(f(y))+a=y+a+ay => f(f(y))= (a+1)y (2)

cho y=a, (2) ta được: f(f(a))=(a+1)a kết hợp (1) => a=(a+1)a => a=0 => f(0)=0 (3)

cho x=0, ta được: f(f(y))=y (4)

phù, vài bữa giải tiếp!

chinhlh · 26-12-2008, 11:01 PM

Legiang vẫn còn nhớ PTH hả. Anh Myhanh cũng đã giải tới đây rùi. Vấn đề chủ yếu là tính được f(0), f(1), f(-1). Mọi chuyện sau đó là không khó.

myhanh · 27-12-2008, 07:15 AM

Trích:

Nguyên văn bởi chinhlh

Tính được f(0)=0. Từ đó suy ra f(x).f(y)=xy và $f^2(x)=x^2$ . Nếu tồn tại x khác 0 sao cho f(x)=x thì suy ra f(y)=y với mọi y. Hàm f(x)=-x không thỏa yêu cầu bài toán.
Việc tính f(0) là không khó.

Anh chưa tính được f(0)!?