Đề thi HSG Toán cấp tỉnh vòng 1 2008-2009

hanoi-hue-saigon · 12-11-2008, 08:33 PM

Đúng là anh Myhanh có say mê toán nhưng yêu thích nhất thì lại không phải là toán mà có lẽ là Tin học. H2S đoán thế!
H2S đang chờ đợi lời giải toán của anh C!

phanthuyen · 12-11-2008, 08:36 PM

Trích:

Nguyên văn bởi chinhlh

Đề thi như thế là hợp lý rồi. Bài 5 sử dụng bất đẳng thức Cauchy theo một kỹ thuật hết sức tự nhiên. Bài 1, 2, 4 rất cơ bản. Bài 3 rất hay nhưng hình như Phanthuyen post đề sai rồi, hoặc là người ra đề đã có sai sót. Bạn có thể kiểm tra kỹ lại không?

dạ bài 3 hổng có sai đâu ạ! còn bài 5 thì đúng là nhầm. Em đã chỉnh lại rồi, là b + c

Gem · 12-11-2008, 08:43 PM

hihi, bài bất đẳng thức này bị khui ra mấy chỗ hay hết rồi chị H2S ơi, biết ngay là chị nói đến anh C liền mà, anh C lúc này quá nổi tiếng.

Hồi đó Gem rất mê bất đẳng thức, bỏ lâu quá rồi đâm ra nhớ. Chắc phải ôn lại cùng đàm đạo với bạn Chinh quá.

hanoi-hue-saigon · 12-11-2008, 08:49 PM

Vậy mà khi đọc bài làm của các em xong chị vẫn hy vọng được thấy cách giải toán của anh ấy!

chinhlh · 12-11-2008, 08:58 PM

Anh C học khóa mấy vậy? Chắc là cựu lâu năm rồi nên mình hổng biết.
Bài hình học không gian có vấn đề ở chỗ là không tồn tại một hình chóp như thế.
Phanthuyen có làm được bài này không?

myhanh · 12-11-2008, 10:43 PM

Trích:

Nguyên văn bởi chinhlh

Chị Gem nghi ngờ điều gì chăng? Trong bài 5 Phanthuyen đã đánh máy nhầm chữ c và b. Nếu để như vậy thì giải không được ( cho a=b=1,c=0,5), cần phải sửa lại như sau:
Cho $a,b,c$ là ba số thực dương (thực ra chỉ cần không âm). Chứng minh rằng $a^5+b^5+c^5 +12 \geq 5(a+b+c).$
Áp dụng BDT Cauchy cho 5 số không âm ta được
$a^5 +1+1+1+1\geq 5a$
$b^5 +1+1+1+1\geq 5b$
$c^5 +1+1+1+1\geq 5c.$

Mình thích dùng Bernoulli: $(1+x)^r\geq1+rx$ .
Trong đó r nguyên và $r\geq0$ ,x>-1.
Do a,b,c là ba số thực dương nên a-1, b-1,c-1 >-1.
Vậy ta có:
$(1+(a-1))^5 \geq 1+5(a-1)=5a-4$
$(1+(b-1))^5 \geq 1+5(b-1)=5b-4$
$(1+(c-1))^5 \geq 1+5(c-1)=5c-4$
Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế ta có:
$a^5+b^5+c^5 +12 \geq 5(a+b+c).$
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
Cách dùng Cauchy là cách hay nhưng hơi mẹo không mang tính hệ thống nên bị áp lực thời gian khó nghĩ ra.
Khi so sánh $a^n$ với na nên nghĩ ngay đến Bernoulli.

Gem · 12-11-2008, 11:04 PM

nhưng Gem nghe nói trong chương trình PTTH , ngoài Côsi và Bunha ra thì tất cả các kết quả bất đẳng thức khác được xem là bổ đề , mà bổ đề là phải chứng minh nữa.

Gem nghĩ người ra đề năm nay cho câu BĐT hay hơn các câu còn lại:

Không biết bài này áp dụng các PP trên được không ?

cho $a,b,c$ là các số không âm $CMR:$

$256(c^3+a^3)(b^3+a^3)(c^3+b^3) \leq (a+b+c)^9$

lovelqd · 13-11-2008, 12:21 PM

Trích:

Nguyên văn bởi myhanh

Mình thích dùng Bernoulli: $(1+x)^r\geq1+rx$ .
Trong đó r nguyên và $r\geq0$ ,x>-1.
Do a,b,c là ba số thực dương nên a-1, b-1,c-1 >-1.
Vậy ta có:
$(1+(a-1))^5 \geq 1+5(a-1)=5a-4$
$(1+(b-1))^5 \geq 1+5(b-1)=5b-4$
$(1+(c-1))^5 \geq 1+5(c-1)=5c-4$
Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế ta có:
$a^5+b^5+c^5 +12 \geq 5(a+b+c).$
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
Cách dùng Cauchy là cách hay nhưng hơi mẹo không mang tính hệ thống nên bị áp lực thời gian khó nghĩ ra.
Khi so sánh $a^n$ với na nên nghĩ ngay đến Bernoulli.

Nhưng a nghĩ Bernoulli ít đc sử dụng. A nhớ nó đc sử dụng mạnh khi có các kết quả trung gian khác thú vị từ nó!

lovelqd · 13-11-2008, 12:26 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Gem

nhưng Gem nghe nói trong chương trình PTTH , ngoài Côsi và Bunha ra thì tất cả các kết quả bất đẳng thức khác được xem là bổ đề , mà bổ đề là phải chứng minh nữa.

Gem nghĩ người ra đề năm nay cho câu BĐT hay hơn các câu còn lại:

Không biết bài này áp dụng các PP trên được không ?

cho $a,b,c$ là các số không âm $CMR:$

$256(c^3+a^3)(b^3+a^3)(c^3+b^3) \leq (a+b+c)^9$

E đưa bài này hơi ác ngen! Nguồn bài này ở đâu thế!

chinhlh · 14-11-2008, 02:47 AM

Bước 1: Chứng minh $(a+b)^9\geq 256(a^3+b^3)a^3b^3.$

Ta làm như sau
$(a+b)^{12}=[(a^3+b^3)+ab(a+b)+ab(a+b)+ab(a+b)]^4<br /> <br /> \geq 4^4(a^3+b^3)a^3b^3(a+b)^3$

Bước 2: Giả sử $a\geq b\geq c.$ Áp dụng kết quả trên ta được

$(a+b+c)^9\geq 256(a^3+(b+c)^3)a^3(b+c)^3=(a^6+b^3a^3+3b^2ca^3+3b c^2a^3+c^3a^3)(b+c)^3$

$\geq 256(a^6+a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3)(b+c)^3$

$\geq 256(a^6+a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3)(b^3+c^3)$

$= 256(a^3+b^3)(b^3+c^3)(a^3+c^3).$