Nguyên tắc Dirichlet

[chinhlh]

Giả sử bên trong đường tròn đường kính 3 dv có n đường tròn nhỏ đường kính . Tồn tại số đủ lớn sao cho ( Dùng tính chất giới hạn của dãy số). Xét một dãy các đường thẳng song song với , hai đường liên tiếp cách nhau một khoảng , và trong số đó có hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn bự. Gọi là tập hợp gồm đường thẳng nằm trong. Mỗi đường tròn nhỏ cắt ít nhất đường thẳng trong . Từ đó suy ra rằng có ít nhất một đường thẳng cắt không ít hơn đường tròn nhỏ và con số này lớn hơn 8.

[chinhlh]

.

.

.

[myhanh]

chinhlh giải mà không sử dụng nguyên tắc Dirichlet rồi!
Với đường thẳng d bất kỳ. Chiếu tất cả các đường tròn nhỏ lên đường kính l của đường tròn lớn vuông góc với d . Mỗi đường tròn nhỏ chiếu lên l thành một đoạn thẳng con nằm trong l. Tổng độ dài các đoạn thẳng này bằng 25. Ta có 25 = 8.3+1. Theo hệ quả thứ 2 của nguyên tắc Dirichlet thì tồn tại ít nhất một điểm M trên l được phủ bởi ít nhất 8+1=9 đoạn con. Từ điểm M này dựng đường thẳng d' vuông góc với l. Rõ ràng d' là đường thẳng thỏa mãn đề bài: song song với d và cắt ít nhất 9 đường tròn con.

[chinhlh]

Đọc bài của anh Myhanh em chợt nhớ đến ngày xưa. Lúc đó em học lớp Toán của thầy Huy. Mỗi bài thầy ra tụi em giải cả tuần, cả trang giấy. Thầy giải có mấy dòng và chỉ trong vài nốt nhạc. Bài sau em sẽ rút kinh nghiệm. Anh hay thật, Ngày xưa anh cũng học trong đội Toán đúng không? Nếu vậy anh là bậc tiền bối rồi. Xin được anh chỉ dạy thêm.

[chinhlh]

Anh Myhanh có cách chứng minh sơ cấp cho hệ quả thứ hai của nguyên lý Dirichlet không? Em chỉ biết kiểu chứng minh dùng tích phân Lesbegue thôi và đây là lĩnh vực toán sơ cấp nên em nghĩ rằng có cách chứng minh đơn giản hơn.

[myhanh]

Đâu có ngày xưa anh có học Toán nhưng anh thi Tin nên không có thời gian khổ luyện nên bây giờ chỉ nhớ bao nhiêu thì xào bấy nhiêu thôi. Anh hồi đó học chỉ biết thôi chứ không chứng minh.

Em chỉ biết kiểu chứng minh dùng tích phân Lesbegue thôi

Là chứng minh như bài trước đó phải không?

[chinhlh]

Dạ không phải. Chứng minh đó sử dụng các kiến thức về độ đo và tích phân Lesbegue. Anh còn bài nào khác không? Em muốn luyện tập thêm. Học một mình buồn lắm. Coi như anh là thầy, tụi em là học trò đi.

[myhanh]

Đâu có thầy trò gì ở đây! Cùng nhau luyện mà!
Bài khác nè:
Cho một hình tròn bán kính R=16 đv. Người ta bố trí 650 điểm trong hình tròn này. Chứng minh rằng chúng ta luôn tìm được một vành tròn có bán kính trong R1=2 đv, bán kính ngoài R2=3 đv chứa không ít hơn 10 điểm.

[chinhlh]

Giả sử X là một điểm trong 650 điểm đã cho. Ta dựng một vành tròn (C) bán kính trong và ngoài là 2 và 3. Khi đó, mỗi điểm trong vành tròn (C) cách X một khoảng cách lớn hơn 2 nhỏ hơn 3. Do đó, làm ngược lại, mọi vành tròn tâm A (A thuộc (C) bất kỳ) đều phủ X.

Tại mỗi điểm trong 650 điểm trên ta có một vành tròn. tất cả chúng nằm trong hình tròn bán kính 19. Tổng diện tích của 650 vành tròn này là . Theo hệ quả 3, tồn tại ít nhất một điểm M được phủ bởi không ít hơn vành tròn, và con số này lớn hơn 9. Cả 10 tâm của 10 vành tròn này đều cách M từ hai đến ba đơn vị.

[chinhlh]

Như vậy là anh Myhanh đã ra đề áp dụng đủ 3 hệ quả rồi. Bài này cũng ghê thật. Em phải đọc kỹ phần lý thuyết phía trước mới giải được. Cách giải cũng giống như bài trước nhưng cần phải suy luận ngó trước ngó sau. Bài của anh rất hay.
Em xin góp thêm một bài (em chưa giải, mới đọc đề thấy hay nên post lên):

Cho S là một tập gồm 101 số nguyên dương khác nhau từ 1 đến 200. Chứng minh rằng có thể chọn ra x,y,z thuộc S sao cho x+y=z.

Ngày xưa, khi em thi HSG quốc gia, người ta ra bài toán tô màu. Đó là một hệ quả của bài toán này. Bây giờ nhìn lại thấy hồi đó mình kém quá.