Olympic DBSCL

Gem · 05-01-2009, 09:20 PM

Lời giải của Chinh không thật sự tự nhiên khi phải trả qua thêm 1 bước CM 1 bđt trung gian - là một điều ta chỉ nên ..tung chưởng khi gặp 1 bài BĐT khó hơn,
Đối với bài BĐT này cũng không có gì quá phức tạp.

Hãy cùng Gem phân tích 1 chút xíu trước khi ta giải :

Đề bài cho các số dương x,y,z và có tổng bình phương bằng 1 thì một cách tự nhiên ai ai cũng nghĩ đến Cô si ( thật ra theo nước ngoài là AM- GM mà Gem có pót bên kia ) đó là cách suy nghĩ chính xác. Cái khó là áp dụng cho mấy số và là số nào.

Ta thấy các dữ kiện sau , tổng bình phương =1, với x,y,z là các số dương ngang hàng, thôi thì nếu xảy ra dấu bằng thế thì
$x = y = z = \sqrt {\frac{1}{3}}$ cái này thì trung bình cộng chắc ai cũng biết rồi.

vậy thì nếu thế vào VT =
$\frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y} \ge \sqrt 3$

Bình phương 2 vế :

$<br /> \frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }} + \frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }} + \frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }} + 2\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right) \ge 3 = 3.1 = 3\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)$

Như vậy cái ta cần là phải CM cái BĐT này :

$\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }} + \frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }} + \frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }} \ge \left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)$

Đến đây áp dụng Cô Si 2 số cộng vế với vế :

$2(\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }} + \frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }} + \frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }}) = (\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }} + \frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }}) + (\frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }} + \frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }}) + (\frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }}\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }}) \ge 2\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)<br />$

( đạp phải cứt mèo )

Dấu "=+ xảy ra như ở trên í.

Thật ra bài này nhạy theo bài :

France Pre - MO 2005 :

Cho các số thực dương x,y,z, thõa mãn $x^2 + y^2 + z^2 = 3$
$CMR:$

$\frac{{xy}}{z} + \frac{{zx}}{y} + \frac{{yz}}{x} \ge 3$

Đó cũng là lý do vì sao cuộc thi ĐBSCL ít được học sinh trong giới đánh giá cao là vậy.

chinhlh · 06-01-2009, 03:53 AM

Trích:

Nguyên văn bởi BS gau

Câu 7 sai đề: Câu 3 cóa 3 nghiệm: (x,y)=(2624,128576),(8036,8036)
Mấu chốt là nhận ra rằng: $sqrt{2009}=7sqrt{41}$

Lúc giải cứ nghĩ 2009 là nguyên tố.

chinhlh · 06-01-2009, 03:59 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Gem

Lời giải của Chinh không thật sự tự nhiên khi phải trả qua thêm 1 bước CM 1 bđt trung gian - là một điều ta chỉ nên ..tung chưởng khi gặp 1 bài BĐT khó hơn,
Đối với bài BĐT này cũng không có gì quá phức tạp.

Hãy cùng Gem phân tích 1 chút xíu trước khi ta giải :

Đề bài cho các số dương x,y,z và có tổng bình phương bằng 1 thì một cách tự nhiên ai ai cũng nghĩ đến Cô si ( thật ra theo nước ngoài là AM- GM mà Gem có pót bên kia ) đó là cách suy nghĩ chính xác. Cái khó là áp dụng cho mấy số và là số nào.

Ta thấy các dữ kiện sau , tổng bình phương =1, với x,y,z là các số dương ngang hàng, thôi thì nếu xảy ra dấu bằng thế thì
$x = y = z = \sqrt {\frac{1}{3}}$ cái này thì trung bình cộng chắc ai cũng biết rồi.

vậy thì nếu thế vào VT =
$\frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y} \ge \sqrt 3$

Bình phương 2 vế :

$<br /> \frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }} + \frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }} + \frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }} + 2\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right) \ge 3 = 3.1 = 3\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)$

Như vậy cái ta cần là phải CM cái BĐT này :

$\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }} + \frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }} + \frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }} \ge \left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)$

Đến đây áp dụng Cô Si 2 số cộng vế với vế :

$2(\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }} + \frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }} + \frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }}) = (\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }} + \frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }}) + (\frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }} + \frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }}) + (\frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }}\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }}) \ge 2\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)<br />$

( đạp phải cứt mèo )

Dấu "=+ xảy ra như ở trên í.

Thật ra bài này nhạy theo bài :

France Pre - MO 2005 :

Cho các số thực dương x,y,z, thõa mãn $x^2 + y^2 + z^2 = 3$
$CMR:$

$\frac{{xy}}{z} + \frac{{zx}}{y} + \frac{{yz}}{x} \ge 3$

Đó cũng là lý do vì sao cuộc thi ĐBSCL ít được học sinh trong giới đánh giá cao là vậy.

Vì giải BDT quen rồi nên em xài BDT đó cho nhanh. Hai cách giải giống nhau mà.
DBSCL là giải tập huấn mà! Như vậy là tốt lắm rồi.

myhanh · 06-01-2009, 07:40 AM

Trích:

Nguyên văn bởi chinhlh

Lúc giải cứ nghĩ 2009 là nguyên tố.

Anh bị y chang!?
MH đang kiểm tra lại xem ba nghiệm có phải đã đủ chưa?
BS Gau có thể post bài giải đầy đủ lên được không?

Gem · 06-01-2009, 12:57 PM

riêng đối với bất đẳng thức Gem thấy nó rất " đẹp " vì vậy mình nên phân tích phương pháp giải cũng như mở rộng các hướng đi khác thì hay hơn, một phần cũng tạo điều kiện cho các em trong trường iu thích và theo dõi, thúc đẩy đội Toán có nhiều hs đam mê.

BS gau · 14-01-2009, 08:48 PM

Từ phương trình ta suy ra: x,y>2009
$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{7\s qrt{41}}$ (1)
$\Leftrightarrow7\sqrt{41}=\sqrt{xy}-7\sqrt{41y}$
$\Leftrightarrow49*41x=xy+49*41y-14y\sqrt{41x}$
Suy ra $x=41a^2$ , với $a \in N*$
Tương tự: $y=41b^2$ , với $b \in N*$
Phương trình (1) trở thành: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{7}$ (2)
Từ phương trình (2), ta suy ra: a,b>7. Đặt a=7+m, b=7+n với $m,n \in N*$
Phương trình 2 được viết lại: $\frac{1}{7+m}+\frac{1}{7+n}=\frac{1}{7}$ (3)
(3) $\Leftrightarrow\text{mn}=7^2$
Từ đó ta tìm được nghiệm của bài toán.

chinhlh · 14-01-2009, 10:07 PM

Trích:

Nguyên văn bởi BS gau

Từ phương trình ta suy ra: x,y>2009
$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{7 \sqrt{41}}$ (1)
$\Leftrightarrow 7\sqrt{41x}=\sqrt{xy}-7\sqrt{41y}$
$\Leftrightarrow49*41x=xy+49*41y-14y\sqrt{41x}$
Suy ra $x=41a^2$ , với $a \in N*$
Tương tự: $y=41b^2$ , với $b \in N*$
Phương trình (1) trở thành: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{7}$ (2)
Từ phương trình (2), ta suy ra: a,b>7. Đặt a=7+m, b=7+n với $m,n \in N*$
Phương trình 2 được viết lại: $\frac{1}{7+m}+\frac{1}{7+n}=\frac{1}{7}$ (3)
(3) $\Leftrightarrow\text{mn}=7^2$
Từ đó ta tìm được nghiệm của bài toán.

Lời giải rất tốt!

khanhsy · 25-03-2009, 08:10 AM

chinhlh · 26-03-2009, 01:03 AM

Đặt A là Vế Trái, B là vế phải. Ta có:
1. $A\geq a+b+c.$
2. $(k+1)A\geq k.A+a+b+c$
Sử dụng BDT Cauchy ta được
$k\frac{a^{k+2}}{b^{k+1}}+a\geq (k+1)\frac{a^{k+1}}{b^k}.$
Làm tương tự như vậy đẻ được thêm hai BDT nữa rồi cộng lại ta được
$(k+1)A\geq(k+1)B.$