Đề thi OLympic Toán Quốc Tế IMO 2008

Gem · 21-07-2008, 10:18 PM

Ngày 1

Bài 1

Cho $H$ là trực tâm của tam giác nhọn $ABC$ . Đường tròn $\Gamma_A$ có tâm là trung điểm cạnh $BC$ và đi qua $H$ , cắt đường thẳng $BC$ tại $A_1$ , $A_2$ . Các điểm $B_1$ , $B_2$ , $C_1$ , $C_2$ xác định tương tự. Chứng minh rằng 6 điểm $A_1$ , $A_2$ , $B_1$ , $B_2$ , $C_1$ , $C_2$ cùng thuộc 1 đường tròn.

Bài 2

a.Cho $x,y,z$ là các số thực khác 1 thỏa mãn $xyz=1$
Cmr :
$\frac {x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac {y^{2}}{\left(y - 1\right)^{2}} + \frac {z^{2}}{\left(z - 1\right)^{2}} \geq$ 1

b.Chứng minh đẳng thức trên xảy ra với vô hạn bộ 3 số hửu tỷ (x,y,z)

Bài 3

Chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho $n^{2}+1$ có 1 ước nguyên tố lớn hơn $2n+ \sqrt{2n}$ .

Ngày 2

Bài 4: Tìm tất cả các hàm $f: (0, +\infty ) \to (0, +\infty)$ sao cho

$\frac{(f(w))^{2}+(f(x))^{2}}{f(y^{2})+f(z^{2})} = \frac{w^{2}+x^{2}}{y^{2}+z^{2}}$

với mọi số thực dương $w,x,y,z$ mà $wx=yz$ .

Bài 5: Giả sử $n$ và $k$ là các số nguyên dương với $k \geq n$ và $k-n$ là số chẵn. Cho $2n$ bóng đèn được đánh số từ $1$ đến $2n$ ; mỗi bóng có thể sáng hoặc tắt. Tại thời điểm ban đầu, mọi bóng đều tắt. Xét các dãy gồm các bước: tại mỗi bước, công tắc của một trong các bóng đèn được bật (từ sáng chuyển thành tắt hoặc từ tắt chuyển thành sáng).

Giả sử $N$ là số các dãy mà mỗi dãy gồm $k$ bước và kết thúc ở trạng thái: các bóng đèn từ $1$ đến $n$ sáng, các bóng từ $n+1$ đến $2n$ tắt

Giả sử $M$ là số các dãy mà mỗi dãy gồm $k$ bước và cũng kết thúc ở trạng thái: các bóng đèn từ $1$ đến $n$ sáng, các bóng từ $n+1$ đến $2n$ tắt, nhưng trong quá trình đó không một công tắc nào của các bóng từ $n+1$ đến $2n$ được bật.

Tính tỉ số $\frac{N}{M}$ .

Bài 6: Giả sử $ABCD$ là một tứ giác lồi với $|BA| \neq |BC|$ . Kí hiệu các đường tròn nội tiếp của các tam giác $ABC$ và $ADC$ tương ứng qua $w_{1}$ và $w_{2}$ . Giả sử tồn tại đường tròn w tiếp xúc với nửa đường thằng $BA$ kéo dài tại một điểm đi sau $A$ và tiếp xúc với nửa đường thẳng $BC$ kéo dài tại một điểm đi sau $C$ , đồng thời đường tròn đó cũng tiếp xúc với các đường thẳng $AD$ và $CD$ . Chứng minh rằng các tiếp tuyến chung ngoài của $w_{1}$ và $w_{2}$ giao nhau tại một điểm nằm trên đường tròn $w$

Gem · 21-07-2008, 10:20 PM

Hai học sinh thuộc đội tuyển VN tham dự Olympic Toán học quốc tế lần thứ 49 tại Marid (Tây Ban Nha) vừa đoạt huy chương vàng là Hoàng Đức Ý và Lê Ngọc Anh (học sinh trường THPT Lam Sơn - Thanh Hóa).

Theo thông tin từ Bộ GD&ĐT, cả 6 học sinh Việt Nam tham dự Olympic Toán quốc tế (IMO) lần này đều đạt huy chương.

Đỗ Thu Thảo (trường chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương) và Nguyễn Phan Đạt (khối chuyên Toán - ĐHSPHN) giành huy chương bạc. Hai huy chương đồng cho Đặng Trần Tiến Vinh (học sinh lớp 11 trường phổ thông năng khiếu - ĐHQG TP.HCM) và Nguyễn Trọng Hoàng (khối chuyên ĐH Vinh Nghệ An).

Tại Olympic Toán quốc tế lần này, có 267/500 học sinh đoạt giải. Trong đó, có 47 huy chương vàng, 100 huy chương bạc và 120 huy chương đồng. Đoàn VN đạt 159 điểm và xếp thứ 12 toàn đoàn. Năm 2007, đoàn VN đứng thứ 3, chỉ sau Nga và Trung Quốc với 3 huy chương vàng, 2 huy chương bạc.

( tổng hợp tuoitre diendantoanhoc )