Mỗi tuần một bài Toán

chinhlh · 14-01-2009, 12:58 AM

Bài 1: Tìm tất cả hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn
$f(x^2+f(y)-y)=(f(x))^2,\forall x,y\in R.$
Mời các bạn học sinh và các anh chị yêu Toán tham gia giải bài này!
Sau mỗi tuần làm việc căng thẳng, giải toán sơ cấp là một sự giải trí rất hiệu quả và bổ ích!

BS gau · 14-01-2009, 07:32 PM

Một bài toán khác: Để cân các vật có khối lương từ 1 đến 40kg, người ta sử dụng 4 quả cân có tổng khối lượng là 40kg. Tìm khối lượng của 4 quả cân trên.

chinhlh · 14-01-2009, 08:05 PM

Thời đại này mà vẫn còn xài cân thăng bằng sao? Nếu chỉ sử dụng có 4 quả để cân thì làm sao cân được những vật khoảng nửa ký, một ký rưỡi,.... Đề bài không tốt.
Nếu chỉ tính khối lượng nguyên thôi, tức là 1 ký, 2 ký, 3 ký,...,40kg thì đáp án là 1,3,9,và 27 kg.

BS gau · 14-01-2009, 08:09 PM

Các anh chị thử sức với bài toán này xem sao:
Cho đa giác đều $A_1A_2A_3...A_{6n}$ nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Xết các đa giác lồi T có các đỉnh là các điểm trong 6n điểm đã cho và các cạnh của đa giác T đều khác R. Biết rằng số các đa giác lồi T với số cạnh lớn nhất là 32768. Tìm n.

chinhlh · 14-01-2009, 08:18 PM

Em post thêm vài bài nữa thì tiêu đề "Mỗi tuần một bài toán" sẽ tự mâu thuẫn với chính mình sao?

BS gau · 14-01-2009, 08:23 PM

Mỗi tuần 1 bài toán thì ít wá. Thui thì cứ ngầm hỉu những bài này là cho những tuần sau lun đi.

BS gau · 14-01-2009, 08:28 PM

Trích:

Nguyên văn bởi chinhlh

Thời đại này mà vẫn còn xài cân thăng bằng sao? Nếu chỉ sử dụng có 4 quả để cân thì làm sao cân được những vật khoảng nửa ký, một ký rưỡi,.... Đề bài không tốt.
Nếu chỉ tính khối lượng nguyên thôi, tức là 1 ký, 2 ký, 3 ký,...,40kg thì đáp án là 1,3,9,và 27 kg.

E vẫn chưa hỉu lời jải của a.

chinhlh · 14-01-2009, 08:37 PM

Anh chỉ mới post đáp án thôi! Anh sẽ post lời giải sau nhé! Bài này dễ mà! Khối lượng của 4 quả cân đó là 1,3,9 và 27 kg.

chinhlh · 25-01-2009, 01:49 AM

Trích:

Nguyên văn bởi chinhlh

Bài 1: Tìm tất cả hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn
$f(x^2+f(y)-y)=(f(x))^2,\forall x,y\in R.$

Ta xét hai trường hợp.
Trường hợp 1: f đơn ánh. Sự thay đổi của y ở vế trái không làm ảnh hưởng đến vế phải, do đó ta có f(x)=x+a và chỉ có a=0 mới hợp lý. Vậy trong trường hợp này ta được một nghiệm là f(x)=x, với mọi x thuộc R.
Trường hợp 2: f không đơn ánh. Ta sẽ chứng minh f là hàm tuần hoàn và từ đó suy ra f là hàm hằng. Tuần sau post tiếp.

chinhlh · 01-02-2009, 11:48 PM

Trích:

Nguyên văn bởi chinhlh

Ta xét hai trường hợp.
Trường hợp 1: f đơn ánh. Sự thay đổi của y ở vế trái không làm ảnh hưởng đến vế phải, do đó ta có f(x)=x+a và chỉ có a=0 mới hợp lý. Vậy trong trường hợp này ta được một nghiệm là f(x)=x, với mọi x thuộc R.

Bây giờ giả sử f không đơn ánh tức là tồn tại a>b sao cho f(a)=f(b). Ta chứng minh f là hàm tuần hoàn, cụ thể là chứng minh f(x+c)=f(x) với mọi x. Ở đây c=a-b.
Thật vậy,
1. Với $x\geq f(a)-a$ ta có
$f(x)=f((x-f(a)+a)+f(a)-a)=f((x-f(a)+a)+f(b)-b)=f(x+c).$
2. Với $x\in R$ bất kỳ, ta chọn $n$ là số tự nhiên đủ lớn sao cho $x-f(d)+d+nc\geq 0.$ Ở đây $d=f(a)-a.$ Lúc này ta có
$f(x)=f((x-f(d)+d+nc)+f(d+nc)-(d+nc))=f((x-f(d)+d+nc)+f(d+(n-1)c)-(d+(n-1)c)=f(x+c).$
Trong chứng minh trên ta sử dụng nhiều lần công thức $f(x+f(y)-y)=f(x+f(z)-z)$ với $x\geq 0$ và $y,z\in R.$

Như vậy trong trường hợp f không đơn ánh ta đã chứng minh được f là hàm tuần hoàn.
Tuần sau post tiếp!!!