Nguyên tắc Dirichlet

chinhlh · 02-12-2007, 04:27 PM

Hôm nay anh Myhanh về quê có mang lên cho anh em bài toán nào nữa không?

myhanh · 02-12-2007, 05:58 PM

Hì hì muốn thì có đây nhưng khá cơ bản:
Cho hình vuông có chu vi bằng 38 cm. Trong hình vuông này người ta bố trí 100 đa giác lồi , mỗi đa giác có diện tích không quá $\pi cm^2$ , chu vi bằng $2\pi$ cm. Chứng minh rằng trong hình vuông đã cho tồn tại một hình tròn bán kính 1 cm không cắt đa giác nào.

myhanh · 02-12-2007, 06:01 PM

Bài nữa nha:
Trong hình chữ nhật diện tích 10 x20 dvdt có 132 đoạn thẳng chiều dài 1 đv. Chứng minh rằng có thể tìm được trên hai đoạn thẳng khác nhau 2 điểm có khoảng cách không quá 1 đv.

chinhlh · 02-12-2007, 06:19 PM

Thì anh post bài cơ bản thôi, chứ khó quá sao em làm nổi.

chinhlh · 02-12-2007, 07:35 PM

Bài 1 giống y như bài toán xây biệt thự mà anh đã post, nhưng ở đây cần phải am hiểu cách dựng lân cận ngoài. Nếu làm thô bạo rừng rú thì không ra.
Bên ngoài mỗi cạnh của đa giác ta dựng một hình chữ nhật ( hcn này có cạnh mới dài 1cm). Ở mỗi đỉnh ta dựng hình tròn, nhưng chỉ lấy một phần nhỏ. Tổng số đo các góc nhỏ này là 360độ. Diện tích của mỗi lân cận ngoài là :
$\pi+2\pi+\pi$ .
Như vậy, diện tích của 100 lân cận ngoài là $400\pi$ nhỏ hơn diện tích của hình vuông cạnh 36cm.

chinhlh · 03-12-2007, 09:28 AM

Bài thứ 2 cũng giống y như vậy anh ơi. Lân cận ngoài của một đoạn thẳng dài 1cm là hình vuông cạnh 1cm cộng với hai nửa hình tròn đường kính 1cm ở hai đầu. Diện tích của 132 lân cận ngoài là $a=132(1+\pi/4)$ . Diện tích của lân cận ngoài của hình chữ nhật 10x20 là $b=10.20+10+20+\pi/4$ . Vì $a>b$ nên có ít nhất 2 lân cận cắt nhau.

myhanh · 03-12-2007, 09:55 AM

Hì hì! Cả hai bài giải rất hay

chinhlh · 03-12-2007, 01:15 PM

Anh Myhanh đang post tiếp bài khác nữa phải không? Kho tài nguyên của anh sao mà dồi dào quá vậy? Em sẽ cố gắng bòn rút bớt.

BS gau · 24-12-2008, 04:00 PM

Có 2002 quả bóng được đánh số từ 1 đến 2002 và được tô bởi 1 trong 6 màu: xanh, đỏ, tím, vàng, đen, trắng. CM có 2 quả cùng màu mà STT quả này gấp đôi STT quả kia, hoặc có 3 quả cùng màu mà STT 1 quả bằng tổng STT 2 quả kia

chinhlh · 24-12-2008, 07:36 PM

Bài này có thể được giải bằng một cách thô bạo như sau:
1. Có ít nhất 334 số được tô cùng màu, ta gọi tập hợp các số này là $X_1$ . Đối với một tập hợp số tự nhiên X ta ký hiệu $f(X)=\{a-b: a,b\in X, a>b\}$ và $g(X)=\{a-minX: a\in X, a> minX \}$ .
2. Nếu $f(X_1)$ và $X_1$ giao nhau thì ok. Nếu không thì xét $X_2=g(X_1)$ và tiếp tục suy luận. Để ý rằng $X_2\cup f(X_2) \subset f(X_1)$ .