Ta chứng minh BDT sau đây và từ đó suy ra BDT ban đầu :
![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+ 2 \geq a+b+c+2(a^2+b^2+c^2).)
Điều này tương đương với
![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?(\frac{1}{b}-1)(a-b)^2+(\frac{1}{c}-1)(b-c)^2+(\frac{1}{a}-1)(c-a)^2 \geq 0.)
Nếu cả ba số
![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?a,b,c)
đều không lớn hơn 1 thì ok.
Bây giờ giả sử
![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?a>1.)
Ta sử dụng BDT sau đây :
![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq \frac{(a+b)^2}{x+y} )
với
![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?x,y)
là các số dương.
Ta có
Như vậy ta cần chứng minh
Sau khi rút gọn ta được
![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?a+b+c+3abc\geq 2 .)
Rào cản cuối cùng được giải quyết bởi BDT Cauchy ở dạng sơ cấp nhất. Ta làm như sau :
![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?=a+\frac{1}{a}>2.)