Một bài phương trình hàm đặc sắc

Le.Giang · 28-12-2008, 06:54 PM

Trích:

Nguyên văn bởi chinhlh

$f(f(f(f(x_0))))=f(f((a+1).f(x_0)))$ (3).

nhúng hàm f vô chỗ này đúng rùi

Trích:

Nguyên văn bởi chinhlh

$(a+1).f(f(x_0)) = {(a+1)^2}.f(x_0)$

còn ở đây thiếu xét a+1=0

Le.Giang · 28-12-2008, 07:08 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Le.Giang

đặt $g(x)=f(x)-x$ $\forall x$ , từ (6) ta được:

$g(x-1)+g(-x)=0$ với ${g(0)=0}$ , từ đây dễ dàng tính được ${g(x)=0}$ $\forall x \in {Z}$ (7)

từ (3) ta có $g(g(x)+x)=0$ $\forall x \in R$ hay $g(x) \equiv 0$ $\forall x \in R$ (8), từ đây suy ra f(x)=x

chỗ (8) suy ra được vì bị không chế ở (7)

Trích:

Nguyên văn bởi chinhlh

cho g(x)=-x với x không thuộc Z và g(x)=0 với x thuộc Z. Như vậy từ đẳng thức g(g(x)+x)=0 không suy ra được g(x)=0 với mọi x. Lại sơ hở nữa rùi!

chinhlh · 28-12-2008, 07:24 PM

$f(f(f(f(x_0))))=f(f((a+1).f(x_0)))$ (3)

lại áp dụng (2) để giải quyết:

$VT(3)= f(f(f(f(x_0)))) = (a+1).f(f(x_0)) = {(a+1)^2}.f(x_0)$

Ok. Chỗ này đúng rồi. Cần xét thêm trường hợp f(0)=-1 nữa là đủ.

chinhlh · 28-12-2008, 07:34 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Le.Giang

chỗ (8) suy ra được vì bị không chế ở (7)

Không hiểu LeGiang nói gì???

chinhlh · 28-12-2008, 07:38 PM

Hơn nữa cũng chỉ tính được g(0)=0 và g(-1)=0 thôi. Chưa thể kết luận g(x)=0 với mọi x thuộc Z.

Le.Giang · 28-12-2008, 08:42 PM

Trích:

Nguyên văn bởi chinhlh

Hơn nữa cũng chỉ tính được g(0)=0 và g(-1)=0 thôi. Chưa thể kết luận g(x)=0 với mọi x thuộc Z.

hehe, chỗ này em lại tính sai nữa rùi, để em ngâm nữa!

BS gau · 28-12-2008, 09:53 PM

Cho x=0 ta được f(f(x))=f(x) + f(0)*f(x) (1)
từ đó ta được f(x+y)*f(0) = f(x)*f(y) - xy
Giả sữ tồn tại a sao cho f(a) = 0
thế x=a vào (1) ta suy ra f(0)=0
từ đó ta được f(x)*f(y) = xy
Cho x = y ta tìm đuợc f(x) = x hoặc f(x)=-x
thừ lại ta thấy chỉ cóa f(x) = x thòa bài toán

Le.Giang · 28-12-2008, 10:08 PM

Trích:

Nguyên văn bởi BS gau

Giả sữ tồn tại a sao cho f(a) = 0

giả sử quá hay!

chinhlh · 28-12-2008, 10:17 PM

Trích:

Nguyên văn bởi BS gau

Cho x=0 ta được f(f(x))=f(x) + f(0)*f(x) (1)
từ đó ta được f(x+y)*f(0) = f(x)*f(y) - xy
Giả sữ tồn tại a sao cho f(a) = 0
thế x=a vào (1) ta suy ra f(0)=0
từ đó ta được f(x)*f(y) = xy
Cho x = y ta tìm đuợc f(x) = x hoặc f(x)=-x
thừ lại ta thấy chỉ cóa f(x) = x thòa bài toán

BS Gau có thể chỉ ra sự tồn tại của a không?
BS Gau vẫn mắc phải một sai lầm rất tế nhị. Hầu hết các học sinh mà mình đã tiếp xúc đều hiểu sai chỗ này. Từ $f^2(x)=x^2, \forall x$ không suy ra được
f(x)=x với mọi x hoặc f(x)=-x với mọi x dược. Ta chỉ có thể suy ra rằng, tại mỗi giá trị của x thì f(x) hoặc bằng x hoặc bằng -x. Ví dụ, hàm f(x)=trị tuyệt đối của x cũng thỏa điều kiện $f^2(x)=x^2$ nhưng không phải là một trong hai hàm mà em đã chỉ ra.

BS gau · 28-12-2008, 10:32 PM

Hình như hơi hỉu hỉu. Mấy hôm nay em cứ thắc mắc trong sách là tại sao ko ra lun cái hàm mà cứ phải thế đi thế lại. Thanks!