|
![Một bài phương trình hàm đặc sắc](styles/blue/misc/head_icon.gif) |
Một bài phương trình hàm đặc sắc
this thread has 98 replies and has been viewed 22756 times
|
27-12-2008, 02:38 PM
|
#21
|
|
Re: Ðề: Re: Một bài phương trình hàm đặc sắc
Trích:
Nguyên văn bởi myhanh
Anh chưa tính được f(0)!?
|
Để xem BSGau có làm được không? Anh em mình chờ lời giải của BSGau.
|
|
|
27-12-2008, 02:52 PM
|
#22
|
|
Ðề: Một bài phương trình hàm đặc sắc
__________________
Necessity is the mother of in(ter)vention.
Speak softly & carry a big stick.
My Technical Blog
|
|
|
27-12-2008, 04:16 PM
|
#23
|
|
Ðề: Một bài phương trình hàm đặc sắc
Trích:
Nguyên văn bởi BS gau
(1)
|
chọn ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?x=y=0) :
(1)=>
=> ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(f(0))=0) (2)
chọn ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?y=f(0)) :
(1) =>
kết hợp với (2) =>
=>
=> ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(0)=0) v f(x)=0
* TH1: f(x)=0
khi đó:
![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?VP=y+ f(x)+ y*f(x)=y) với mọi y
không phù hợp!
* TH2:
chọn x=0:
(1) => ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(f(y))=y) với mọi y (3)
chọn x=-1và ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?y=f(1)) :
(1) =>
kết hợp với (3), ta được:
![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(1)+f(-1)*f(1)=0) (4)
rõ ràng f(1)=0 không thể xảy ra vì nếu f(1)=0 thì ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(f(1))=f(0)) vô lý vì ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(f(1))=1) còn ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(0)=0) , như vậy (4) => ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(-1)=-1 ) (5)
chọn y=-1:
(1) =>
kết hợp với (5) ta được: ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(x-1)+f(-x)=-1 ) (6)
đặt ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?g(x)=f(x)-x) với mọi x, từ (6) ta được:
![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?g(x-1)+g(-x)=0) với g(0)=0
như vậy để đi tìm hàm f(x) ta bây giờ chỉ cần đi tìm tất cả các hàm số ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?g:R-->R) thỏa: ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi? g(x-1)+g(-x)=0) với g(0)=0
rõ ràng hàm g(x) trên có vô số nghiệm, điều này chỉ xảy ra khi g(x) chính là hàm tầm thường ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?g(x)=0 ) với mọi x!
tóm lại: f(x)=x
PS: đang đợi bắt giò!
thay đổi nội dung bởi: Le.Giang, 28-12-2008 lúc 10:10 AM.
|
|
|
27-12-2008, 04:50 PM
|
#24
|
|
Re: Ðề: Một bài phương trình hàm đặc sắc
Hàm g(x)=sinx cũng có vô số nghiệm nhưng không phải hàm tầm thường. Suy luận của LeGiang là sai.
|
|
|
27-12-2008, 10:04 PM
|
#25
|
|
Re: Ðề: Một bài phương trình hàm đặc sắc
Đã bị bắt trúng giò chưa LeGiang?
|
|
|
27-12-2008, 11:00 PM
|
#26
|
|
Ðề: Một bài phương trình hàm đặc sắc
đang ngâm tiếp phương án khác để giải quyết!
|
|
|
28-12-2008, 10:05 AM
|
#27
|
|
Ðề: Một bài phương trình hàm đặc sắc
Trích:
Nguyên văn bởi Le.Giang
chọn x=0:
(1) => ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?\forall y) (3)
chọn y=-1:
(1) => ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(x+f(-1))+f(x*f(-1))=-1+f(x)-1*f(x))
kết hợp với (5) ta được: ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(x-1)+f(-x)=-1 ) (6)
đặt ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?\forall x) , từ (6) ta được:
![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?g(x-1)+g(-x)=0) với g(0)=0
|
đặt ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?\forall x) , từ (6) ta được:
![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?g(x-1)+g(-x)=0) với ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?{g(0)=0}) , từ đây dễ dàng tính được
từ (3) ta có ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?\forall x \in R) hay ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?\forall x \in R) , từ đây suy ra f(x)=x
thay đổi nội dung bởi: Le.Giang, 28-12-2008 lúc 10:39 AM.
|
|
|
Đã có thành viên gửi lời cám ơn đến Le.Giang vì bạn đã đăng bài:
|
|
28-12-2008, 12:23 PM
|
#28
|
|
Ðề: Một bài phương trình hàm đặc sắc
Trích:
Nguyên văn bởi BS gau
Tìm tất cả các hàm f:R->R sao cho:
f(f(x+y))= f(x+y) + f(x)f(y) - xy (1)
|
đặt ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?{a=f(0)})
Trích:
tính
|
- chọn
![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?{x=x_0,y=0})
với ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?\large {x_0}) xác định sau.
(1) => ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(f(x_0))=(a+1).f(x_0)) (2)
nhấn thêm hai lần hàm f vào hai vế của (2) ta được:
![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(f(f(f(x_0))))=f(f((a+1).f(x_0)))) (3)
lại áp dụng (2) để giải quyết:
ta có ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?VT(3)=VP(3)<br />
=> [\begin{array}{c}a+1=0\(4a)\\f((a+1).f(x_0))=(a+1). f(x_0)\(4b)\end{array}) - TH1:
khi đó f(0)=-1
- chọn
:
(1) => ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(f(0))=f(0)+{f^2}(0)) => ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(-1)=-1+{(-1)^2}) => ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(-1)=0) (4a1) - chọn
:
(1) => ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(f(-1))=f(-1)+f(0).f(-1)) => ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?{-1=0+0*(-1)}) => ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?{-1=0}) hiển nhiên là không phù hợp!
- TH2:
![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f((a+1).f(x_0))=(a+1).f(x_0)\(4b))
đặt ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?(a+1).f(x_0)=t_0) , khi đó (4) => ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(t_0)=t_0) (5) với ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?\large t_0) là một điểm cố định
- chọn
:
(1) =>
kết hợp với (5) ta được:
=>
ta có ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?{t_0=0}) từ (5) => ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?{f(0)=0}) , như vậy (6) =>
Trích:
tìm
|
- chọn
:
từ (1) => ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(f(x))=f(x)) (7)
từ (7) thế trở lại (1) ta được: ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(x).f(y)=x.y) (8)
từ (8) => ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(x)=x.{\frac1{f(1)}}) => ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(x)={b.x}) với ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?b={\frac1{f(1)}}) (9)
thế trở lại (1):
=>
![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?=> b=1) như vậy từ (9) => ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?{f(x)=x})
thay đổi nội dung bởi: Le.Giang, 28-12-2008 lúc 10:31 PM.
|
|
|
Đã có 3 thành viên gửi lời cám ơn đến Le.Giang vì bạn đã đăng bài:
|
|
28-12-2008, 03:26 PM
|
#29
|
|
Re: Ðề: Một bài phương trình hàm đặc sắc
Trích:
Nguyên văn bởi Le.Giang
đặt ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?\forall x) , từ (6) ta được:
![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?g(x-1)+g(-x)=0) với ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?{g(0)=0}) , từ đây dễ dàng tính được
từ (3) ta có ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?\forall x \in R) hay ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?\forall x \in R) , từ đây suy ra f(x)=x
|
cho g(x)=-x với x không thuộc Z và g(x)=0 với x thuộc Z. Như vậy từ đẳng thức g(g(x)+x)=0 không suy ra được g(x)=0 với mọi x. Lại sơ hở nữa rùi! ![Redface](images/chinavbb/smilies/redface.gif)
|
|
|
28-12-2008, 03:47 PM
|
#30
|
|
Re: Ðề: Một bài phương trình hàm đặc sắc
- chọn
![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?{x=x_0,y=0})
với ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?\large {x_0}) xác định sau.
(1) => ![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(f(x_0))=(a+1).f(x_0)) (2)
nhấn thêm hai lần hàm f vào hai vế của (2) ta được:
![](http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?f(f(f(f(x_0))))=f(f((a+1).f(x_0)))) (3)
lại áp dụng (2) để giải quyết:
Sai ở chỗ này: Vế phải phải có 3 chữ f. Hơn nữa phải xét xem liệu f(0) có bằng -1 không rồi mới đem 2 vế chia cho f(0)+1.
|
|
|
Đã có thành viên gửi lời cám ơn đến chinhlh vì bạn đã đăng bài:
|
|
Quyền Sử Dụng Ở Diễn Ðàn
|
Bạn không được quyền gởi bài
Bạn không được quyền gởi trả lời
Bạn không được quyền gởi kèm file
Bạn không được quyền sửa bài
HTML đang Tắt
|
|
|
|
![](images/spacer.gif) |