[alpha]

Giao thừa sắp qua, ngày Xuân rảnh rỗi mình xin trình bày đầy đủ lời giải bài toán Sói & Thỏ. Xem như đây là những thiện ý muốn trao đổi thật lòng của mình, cũng như sự tôn trọng của mình đối với các bạn đã đọc thread này, nhất là đối với myhanh. Mình không giỏi ăn nói đã làm nhiều bạn hiểu lầm, có gì xin các bạn bỏ qua cho nhé!
I.Với bài có những dữ kiện gợi ý như Thỏ cách hang thỏ của nó 50m. . .:
Đầu tiên ta tính được tốc độ chạy của Sói so với Thỏ (cách tính xem giải thuật chính ở phần sau). Sau đó dùng cách lý luận của myhanh ở trên ta sẽ tìm ra được đáp án.
a) Hên xui. Logic vấn đề là Sói tuy bắt kịp Thỏ ngay tại miêng hang nhưng ta không thể khẳng định là Sói bắt được Thỏ mà chỉ có thể nói Sói bắt được Thỏ hay không là do “hên xui” thôi. Nếu Sói nhanh tay và gặp một con Thỏ không được nhanh nhẹn cho lắm thì Sói bắt được Thỏ. Nếu Sói hơi chậm tay và gặp một con Thỏ quá nhanh nhẹn thì chỉ cần vài giây Sói chưa kịp ra tay thì Thỏ đã lẻn mất vào hang ngay.
b) Sói muốn bắt được Thỏ thì nó phải chạy một quảng đường ít nhất là 60m (theo cách tính và lý luận myhanh)
Cách trên này chỉ dành cho “thấp thủ” hoặc những tay cao thủ như myhanh nhưng không muốn “giết gà bằng dao mổ trâu” trong khi chỉ cần bấm đốt ngón tay là ra đáp án thì cần chi phải tính toán nhiều cho mệt óc.
II.Với những bài không có dữ kiện gợi ý hoặc khó khăn hơn thì nên dùng cách của cao thủ cho nhanh.
1) Đầu tiên ta phải tính được tốc độ chạy của Sói so với Thỏ :
Từ những dữ kiện đã cho, ta có :
Độ dài quảng đường của một bước Sói :
Lw1= 45/13 (bước Thỏ)
Độ dài quảng đường Thỏ bước được khi Sói bước một bước :
Lw2= 5/2 (bước Thỏ)
Từ đây ta tìm được Tốc độ của Sói so với Thỏ :
Vw/Vr = Lw1/Lw2 =(45/13) : (5/2)= 9/6,5
Đến đây là xong bước 1.
Bước 1 này nói khó cũng được mà nói dễ cũng OK vì có nhiều bạn không nghĩ ra. Cứ luôn miệng thốt "hại não quá!" mà không ngờ nó quá đơn giản như thế !
Bởi vì các bạn ấy cứ luôn nghĩ trong đầu khoảng cách 10m trong khi tốc độ chạy Sói và Thỏ không có cái gì liên quan đến mét (?!) thì làm sao tính ra chuyện Sói phải chạy bao nhiêu mét mới bắt kịp Thỏ?

Bài toán bây giờ đến một ngã ba rẽ về hai hướng đầy bất ngờ.
A1) Sói không bao giờ bắt kịp Thỏ vì bài toán đi vào ngõ cụt:
Từ lâu, ta thường nghe nói đến thành ngữ “gót chân A-Sin”, ám chỉ điểm yếu của một người !
Achilles, sinh ra bởi Thetis, nữ thần biển, với vua Hy Lạp Peleus, có mẹ thì bất tử nhưng bố là người trần, vì thế Achilles cũng sẽ như bố, không sống mãi mãi được. Khi Achilles được sinh ra đã được tiên tri là chàng sẽ chết trong chiến trận. Để giúp sự trường tồn của con, Thetis đã dốc ngược người cậu bé, hai tay giữ bằng gót chân, rồi nhúng cả người cậu vào nước sông Styx, vậy cả người Achilles là mình đồng da sắt, chỉ có gân nơi gót chân là yếu vì không được nhúng nước. Peleus thấy cảnh đó tưởng vợ mình giết con bèn giật lại Achilles từ tay vợ. Trong lúc giằng co, xương ống chân của chàng bị gãy. Thetis tức giận bỏ về thủy cung và không gặp lại chồng nữa. Peleus đưa con trai cho nhân mã Cheiron nhờ ông nuôi dưỡng. Cheiron thay xương ống chân người khổng lồ cho chàng để chàng trở thành người chạy nhanh nhất thế giới, thay gan sư tử, tim gấu cho chàng dũng cảm và không biết sợ gì.

Ai cũng thấy thực tế là Sói sẽ bắt kịp Thỏ không chóng thì chầy. Nhưng Zénon d'Elée (496/490-430/429TCN) là một Triết gia, cũng là một nhà Toán học Hy Lạp cổ đại đã lý luận Sói nhanh nhẹn như là Achilles còn Thỏ chậm chạp như là Rùa. Achilles sẽ không bao giờ bắt kịp Rùa cũng như Sói sẽ không bao giờ bắt kịp Thỏ.
Khi Sói chạy được thì Thỏ chạy thêm được
Khi Sói chạy thêm được thì Thỏ cũng chạy thêm được
Khi Sói chạy thêm được thì Thỏ cũng chạy thêm được
Và cứ như thế mãi, Thỏ vẫn luôn luôn ở trước Sói, nghĩa là Sói không bao giờ bắt kịp Thỏ.

Điều này trong toán học thường được gọi là “Nghịch lý Zeno”.
Xem _http://vi.wikipedia.org/wiki/Ngh%E1%BB%8Bch_l%C3%BD_Zeno

Ba nghịch lý vững nhất và nổi tiếng nhất là - nghịch lý Achilles và con rùa, lý lẽ của sự phân đôi và mũi tên bay - sẽ được trình bày chi tiết dưới đây.
Những lập luận này của Zeno có lẽ là những ví dụ đầu tiên của một phương pháp chứng minh thường được gọi là Reductio ad absurdum (phương pháp bác bỏ một luận đề bằng cách chứng minh, nếu lý giải chính xác theo từng chữ, nó sẽ dẫn đến một cách vô lý)[4] hay còn được gọi là phương pháp chứng minh đảo ngược. Những nghịch lý này cũng được ghi nhận như là nguồn gốc của biện chứng pháp được Socrates sử dụng.[5]
Một số nhà toán học, chẳng hạn như Carl Boyer, cho rằng nghịch lý Zeno chỉ đơn giản là vấn đề toán học, mà vi tích phân hiện đại có thể đưa ra một giải pháp toán học.[6] Tuy nhiên một số triết gia lại cho rằng nghịch lý Zeno và các biến thể của chúng (xem đèn Thomson) còn có những vấn đề siêu hình học.[7][8][9]
Nguồn gốc của những nghịch lý có phần không rõ ràng. Diogenes Laërtius, một nguồn thứ tư cung cấp thông tin về Zeno và những bài giảng của ông, trích dẫn từ Favorinus, nói rằng thầy của Zeno là Parmenides mới là người đầu tiên đưa ra nghịch lý Achilles và rùa. Tuy nhiên trong một đoạn sau đó, Laertius lại cho rằng nguồn gốc nghịch lý là của Zeno, giải thích rằng Favorinus không đồng ý về điều này.[10]
Những nghịch lý trong chuyển động
Achilles và con rùa
Trong một cuộc chạy đua, người chạy nhanh nhất không bao giờ có thể bắt kịp được kẻ chậm nhất. Kể từ khi xuất phát, người đuổi theo trước hết phải đến được điểm mà kẻ bị đuổi bắt đầu chạy. Do đó, kẻ chạy chậm hơn luôn dẫn đầu. – theo lời ghi lại của Aristotle, Vật lý VI:9, 239b15
Trong nghịch lý Achilles và rùa, Achilles chạy đua với rùa. Ví dụ Achilles chấp rùa một đoạn 100 mét. Nếu chúng ta giả sử rằng mỗi tay đua đều bắt đầu chạy với một tốc độ không đổi (Achilles chạy rất nhanh và rùa rất chậm), thì sau một thời gian hữu hạn, Achilles sẽ chạy được 100 mét, tức anh ta đã đến được điểm xuất phát của con rùa. Nhưng trong thời gian này, con rùa cũng đã chạy được một quãng đường ngắn, ví dụ 10 mét. Sau đó Achilles lại tốn một khoảng thời gian nữa để chạy đến điểm cách 10 mét ấy, mà trong thời gian đó thì con rùa lại tiến xa hơn một chút nữa, và cứ như thế mãi. Vì vậy, bất cứ khi nào Achilles đến một vị trí mà con rùa đã đến, thì con rùa lại cách đó một đoạn. Bởi vì số lượng các điểm Achilles phải đến được mà con rùa đã đi qua là vô hạn, do đó anh ta không bao giờ có thể bắt kịp được con rùa.[11][12]
Nghịch lý phân đôi
Một chuyển động phải đến được vị trí nửa quãng đường trước khi đến được đích.– theo lời ghi lại của Aristotle, Vật lý VI:9, 239b10
Giả sử Homer muốn bắt một chiếc xe buýt đang dừng ở đó. Trước khi ông đến được vị trí chiếc xe buýt thì ông phải đến được trung điểm của khoảng cách giữa ông và chiếc xe buýt. Mà trước khi ông đến được trung điểm ấy, thì ông phải đến được điểm 1/4 khoảng cách. Mà trước khi đến được điểm 1/4 ấy ông phải đến được điểm 1/8. Trước điểm 1/8 là 1/16. Và cứ thế.


Trình tự kết quả có thể được biểu diễn là:

Để mô tả chuyển động này cần phải thực hiện vô hạn các bước, mà Zeno xác nhận rằng điều đó là bất khả thi.
Trình tự này cũng đưa ra một vấn đề thứ 2, đó là thậm chí còn không có quãng đường đầu tiên để di chuyển, vì bất kỳ quãng đường đầu tiên (hữu hạn) khả dĩ nào thì đều có thể được chia thành một nửa, và vì thế không thể là quãng đường đầu tiên được. Do đó, sự di chuyển thậm chí không thể bắt đầu. Kết luận của nghịch lý này là sự chuyển động từ điểm này đến điểm khác cách nhau 1 khoảng cách hữu hạn không thể hoàn thành được và cũng không thể bắt đầu được, do đó, mọi chuyển động phải là một ảo giác.
Lập luận này được gọi là sự phân đôi (Dichotomy) bởi vì nó liên tục lặp lại việc chia nhỏ một quãng đường thành hai phần. Nghịch lý này chứa một số yếu tố giống như nghịch lý Achilles và rùa, nhưng kết luận rõ ràng hơn về sự bất động. Nó còn được gọi là nghịch lý đường đua. Một số người và cả Aristotles cho rằng nghịch lý phân đôi này thật ra cũng chỉ là một phiên bản khác của Achilles và rùa.[13]
Nghịch lý mũi tên
Nếu tất cả mọi thứ đều chiếm 1 khoảng không gian khi nó đứng yên, và nếu khi nó chuyển động thì nó cũng chiếm một khoảng không gian như thế tại bất cứ thời điểm nào, do đó mũi tên đang bay là bất động.[14] – theo lời ghi lại của Aristotle, Vật lý VI:9, 239b5
Trong nghịch lý mũi tên, Zeno nói rõ rằng để chuyển động xảy ra, thì đối tượng phải thay đổi vị trí mà nó chiếm giữ. Ông đã đưa ra ví dụ về một mũi tên đang bay. Ông lập luận rằng trong bất kỳ một khoảnh khắc (thời điểm) nào đó thì mũi tên không di chuyển đến vùng không gian nó đang chiếm, và cũng không di chuyển đến vùng không gian mà nó không chiếm.[15] Nó không thể đang di chuyển đến nơi mà nó không chiếm, bởi vì thời gian không trôi để nó di chuyển đến đó, nó cũng không thể đang di chuyển đến nơi nó đang chiếm, bởi vì nó đã đứng đó rồi. Nói một cách khác thì tại mỗi khoảnh khắc của thời gian, không có chuyển động xảy ra. Nếu mọi vật đều bất động trong mỗi khoảnh khắc, và thời gian hoàn toàn là bao gồm các khoảnh khắc, thì chuyển động là không thể xảy ra.
Hai nghịch lý trên là sự phân chia không gian, thì nghịch lý này Zeno phân chia thời gian, nhưng không phải thành các phân đoạn, mà thành các điểm.[16]
Các giải pháp được đề xuất
Theo Simplicius, khi nghe những lý lẽ của Zeno thì Diogenes thành Sinope không nói gì cả, chỉ đứng dậy và bước đi nhằm chứng minh sự sai lầm của Zeno. Tuy nhiên, để giải quyết một cách trọn vẹn những nghịch lý, người ta cần phải chỉ ra được điểm sai lầm trong lý lẽ, chứ không phải chỉ kết luận rằng nó sai. Từ xưa đến nay đã có nhiều giải pháp được đề xuất, trong những giải pháp đầu tiên có một số là của Aristotle và Archimedes.
Aristotle (384 TCN-322 TCN) nhận xét ​​rằng, vì khoảng cách giảm dần nên thời gian cần thiết để thực hiện di chuyển những khoảng cách đó cũng giảm dần.[17][18] Trước năm 212 TCN, Archimedes đã trình bày một phương pháp để tìm ra một kết quả hữu hạn cho một tổng gồm vô hạn phần tử giảm dần. (Xem: Chuỗi hình học) Những phương pháp này cho phép xây dựng các giải pháp dựa trên các điều kiện mà Zeno đặt ra, tức là lượng thời gian thực hiện ở mỗi bước giảm theo cấp số nhân,[6][19] và có vô số khoảng thời gian nhưng tổng thời lượng cần thiết dành cho sự di chuyển từ điểm này đến điểm kia lại là một số hữu hạn, do đó vẫn có thể thực hiện được chuyển động này.
Những nghịch lý trong thời hiện đại
Quá trình vô hạn về mặt lý thuyết vẫn còn là vấn đề rắc rối trong toán học cho đến cuối thế kỷ thứ 19. Cách giải thích epsilon-delta của Weierstrass và Cauchy đã trình bày một công thức nghiêm ngặt về logic và vi tích phân. Công thức này giải quyết được những vấn đề toán học liên quan đến quá trình vô hạn.[20]
Trong khi toán học có thể được sử dụng để tính toán vị trí và thời điểm mà Achilles vượt qua rùa trong nghịch lý Zeno, nhưng các triết gia như Brown và Moorcroft[7][8] khẳng định rằng toán học không thể giải quyết các trọng điểm trong luận cứ của Zeno, và rằng giải quyết được các vấn đề của toán học không có nghĩa là có thể giải quyết được mọi vấn đề mà nghịch lý đưa ra.

Sự thật như thế nào ?
A2) Sói sẽ bắt kịp Thỏ :
2 a)Trong thực tế, chắn chắn Achilles bắt được con Rùa cũng như Sói sẽ vượt qua Thỏ rất dễ dàng.
Toán học vi phân bây giờ lý luận rằng :
Tổng cộng các quảng đường liên tiếp mà con Thỏ chạy được là :

Đây là một dãy cấp số nhân có n số hạng với n là vô hạng ()
Áp dụng công thức tính tổng một cấp số nhân có số hạng đầu là công bội và có số hạng là vô số, ta có :
Sói bắt kịp Thỏ khi Thỏ chạy được 26 m, nghĩa là Sói sẽ qua mặt Thỏ khi Thỏ chạy được 26,1m.
b) Để bắt kịp Thỏ Sói phải chạy quảng đường ít nhất là 36m (=10m + 26m)

Bài sau cùng cũng dùng cách tương tự ta tính được tốc độ Sói so với Thỏ là 10/3. Tổng quảng đường Thỏ chạy đươc đến khi bị Sói bắt kịp là .
Sói sẽ vượt qua Thỏ khi Thỏ đã chạy 42,86 m.
Để bắt kịp Thỏ thì Sói phải chạy quảng đường ít nhất là 142,857142 m (=100m+42,857142m)

Tóm lại, bài toán này có hóc búa và hấp dẫn hay không là tùy theo cảm nhận của người đọc. Một khi đã có lời giải thì có người lại thấy nó dễ vô cùng.
Dù vậy, bài toán này đã dựa vào một triết lý sâu xa gây nhiều tranh cãi trong cuộc sống thực tế nên nói gì thì nói, nó cũng có cái hay của nó.