Cựu Học Sinh Lê Quý Đôn - Long An - View Single Post

myhanh · 19-05-2008, 02:45 PM

Câu 3:
Xét hàm số:
$ f(x)=x^2\sqrt[n]{1-x} \forall x \in (0,1) \wedge n \in N^*\\ f'(x)=(2x)\sqrt[n]{1-x}+x^2(-\frac {1}{n\sqrt[n]{(1-x)^{n-1}}})\\ =x\frac{2n-(2n+1)x}{n\sqrt[n]{(1-x)^{n-1}}}\\ f'(x)=0 \Longleftrightarrow x=\frac{2n}{2n+1} $
Vậy ta có f(x) đạt cực trị tại:
$ x=\frac{2n}{2n+1} $
Để biết đây là cực đại hay cực tiểu chúng ta tính đạo hàm cấp 2 của f(x) hoặc thử giá trị của f(x) tại x nào đó thuộc miền trị.
Ta có:
$ f(\frac{2n}{2n+1})=\frac{4n^2}{(2n+1)^2\sqrt[n]{2n+1}} (1)\\ f(0)=f(1)=0 (2) $
(1) và (2) ta thấy hàm đạt cực đại tại
$ x=\frac{2n}{2n+1} \Longrightarrow f(x) \leq f(\frac{2n}{2n+1}) \leq \frac{2n}{2n+1}\frac{1}{\sqrt[n]{2n+1}} (3) $
Từ (3) cho ta đpcm.

19-05-2008, 02:45 PM	#4
Hồ sơ myhanh Pathfinder Tham gia ngày: Dec 2004 Cư ngụ: Love Planet Tuổi: 43 Số bài viết: 7,404 Tiền: 0 Thanks: 2,122 Thanked 5,464 Times in 2,040 Posts	Ðề: ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 năm 2008 ( Toán ) Câu 3: Xét hàm số: $<br /> f(x)=x^2\sqrt[n]{1-x} \forall x \in (0,1) \wedge n \in N^*\\<br /> f'(x)=(2x)\sqrt[n]{1-x}+x^2(-\frac {1}{n\sqrt[n]{(1-x)^{n-1}}})\\<br /> =x\frac{2n-(2n+1)x}{n\sqrt[n]{(1-x)^{n-1}}}\\<br /> f'(x)=0 \Longleftrightarrow x=\frac{2n}{2n+1}<br />$ Vậy ta có f(x) đạt cực trị tại: $<br /> x=\frac{2n}{2n+1}<br />$ Để biết đây là cực đại hay cực tiểu chúng ta tính đạo hàm cấp 2 của f(x) hoặc thử giá trị của f(x) tại x nào đó thuộc miền trị. Ta có: $<br /> f(\frac{2n}{2n+1})=\frac{4n^2}{(2n+1)^2\sqrt[n]{2n+1}} (1)\\<br /> f(0)=f(1)=0 (2)<br />$ (1) và (2) ta thấy hàm đạt cực đại tại $<br /> x=\frac{2n}{2n+1}<br /> \Longrightarrow f(x) \leq f(\frac{2n}{2n+1}) \leq \frac{2n}{2n+1}\frac{1}{\sqrt[n]{2n+1}} (3)<br />$ Từ (3) cho ta đpcm. __________________ Necessity is the mother of in(ter)vention. Speak softly & carry a big stick. My Technical Blog