Cựu Học Sinh Lê Quý Đôn - Long An - View Single Post

chinhlh · 20-07-2008, 03:19 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Gem

Xin mời Chinh giải bài này thử xem sao :

Đây là câu 6 trong đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia lớp 12 VMO 2008

Cho x,y,z là các số thực không âm ,đôi một khác nhau.Chứng minh rằng
$(xy+yz+zx)(\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2})\geq 4$

Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào?

Vai trò của x,y,z như nhau nên có thể giả sử $0\leq x<y<z$ . Tính toán trực tiếp ta được $f(x,y,z)\geq f(0,y,z)$ .
$f(0,y,z)+\frac{1}{2}=(y^2 +z^2)\large(\frac{1}{2yz}+\frac{1}{2yz}+\frac{1}{2 (y-z)^2}\large)\geq (y^2 +z^2)\frac{9}{2yz+2yz+2(y-z)^2}=\frac{9}{2}$ .
Dấu bằng xảy ra tại $yz=(y-z)^2$ . Phần kết luận còn lại là đơn giản.