đề Thi Hsgqg Toán 2009
 

hok bít làm thì cười chứ sao
Câu 1: Giải hệ pt:


Câu 2: Cho dãy số


Đặt
Chứng ming rằng () có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3: Trong mặt phẳng cho 2 điểm A,B cố định. C là điểm di động sao cho . (I) nội tiếp tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại E,F,D. 2 đường thẳng IA, IB lần lượt cắt đường thẳng EF tại M,N. CMR:
a) MN=const
b) (DMN) đi qua một điểm cố định.

Câu 4: Cho a,b,c là các số thực thỏa là số nguyên(n nguyên dương). CMR tồn tại các số nguyên p,q,r sao cho a,b,c là nghiệm của phương trình

Câu 5:Cho n là số nguyên dương. Gọi T là tập hợp 2n số nguyên dương đầu tiên. Có bao nhiêu cách chọn S, sao cho với a, b là 2 fần tử của S thì không tồn tại
Chú ý:Tâp hợp rỗng cũng thỏa mãn tính chất trên.

Re: đề Thi Hsgqg Toán 2009
 

Bài 1: Từ phương trình thứ hai ta có . Từ phương trình đầu tiên ta sẽ tính được x=y. Sử dụng BDT Bunhiakovski và BDT sau đây:

Trong đó . Đương nhiên là phải chứng minh BDT này nhưng việc chứng minh là không khó.


Bài 2: Ta thấy dãy là dãy tăng và không có giới hạn hữu hạn nên phải tiến ra vô cùng.
Ta tính được:

.

Từ đây tính được giới hạn cần tìm là 6.

Re: đề Thi Hsgqg Toán 2009
 

Câu 4 có thể là:
Cho a,b,c là các số thực thỏa là số nguyên với mọi số nguyên dương n. CMR tồn tại các số nguyên p,q,r sao cho a,b,c là nghiệm của phương trình

Ta cần chứng minh ab+bc+ca và abc là 2 số nguyên.
Ta có . Từ đó suy ra 6abc là số nguyên. Thay a,b,c bởi ta được là số nguyên và do đó .
Tương tự như vậy ta chứng minh được 2(ab+bc+ca) và đều là số nguyên. Từ đó suy ra kết quả.