Cựu Học Sinh Lê Quý Đôn - Long An - ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 năm 2008 ( Toán )

Cựu Học Sinh Lê Quý Đôn - Long An (http://www.lqdlongan.com/forum/index.php)

- Toán học (http://www.lqdlongan.com/forum/forumdisplay.php?f=140)

- - ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 năm 2008 ( Toán ) (http://www.lqdlongan.com/forum/showthread.php?t=5071)

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 năm 2008 ( Toán )

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4

tổ chức ngày 5/4/2008 tại trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong Tp. HCM

Câu 1:
Giải hệ phương trình: $\{\begin{x+y-z=7}\\{x^{2}+y^{2}-z^{2} =37}\\{x^{3}+y^{3}-z^{3}=1}$
Câu 2:
Cho $\Delta ABC$ có diện tích $S$ . Gọi M, N, K là các điểm nằm trên $BC, CA, AB$ sao cho: $30\vec{MB}+\vec{MC} = 4\vec{NA}+\vec{NC} = 14\vec{KA}+ \vec{KB} = \vec{0}$

Gọi $D, E ,F$ lần lượt là giao điểm của các đoạn thẳng $AM$ và $CK$ , $AM$ và $BN$ , $CK$ và $BN$ .
Tính $S_ \Delta DEF$ theo $S$ .

Câu 3:
Chứng minh rằng [IMG]http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cforall%20n%5Cin%20N%5E%7B*%7D[/IMG]và $x \in(0;1)$ , ta luôn có bất đẳng thức: $x^{2}.\sqrt[n]{1-x} \leq \frac{2n}{2n+1} .\frac{1}{\sqrt[n]{2n+1} }$

Câu 4:
Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho:
$\forall a\in Z, \forall b\in Z ,a^{2}\equiv b^{2}(mod m) \Rightarrow a \equiv \pm b(mod m)$
Câu 5:
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho 2 đường tròn: $(C_1) x^{2}+y^{2} =2$ và $(C_2) x^{2}+y^{2} =5$ và điểm $A(0;1)$ . Xác định tọa độ của $B$ trên $(C_1)$ và $C$ trên ( $C_2)$ sao cho $S_\Delta ABC$ đạt giá trị lớn nhất.

nguồn diendantoanhoc.net

----------------------

gem nghĩ với đề bài này thì học sinh trường mình có thể làm được các câu 1,2,5 vì các thầy cũng đã ôn kỹ các phần này.

Hồi thời của Gem thỉ các đề thi hầu như ra dạng cách giải chân phương và trường Lê Hồng Phong TPHCM lúc nào cũng dính một đề trong đó. Ngoài Lê Hồng Phong thì có 3 "thế lực " khác rất mạnh là Lê Quí Đôn Đà Nẵng và Lương Thế Vinh Đồng Nai.

Ðề: ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 năm 2008 ( Toán )

Bài 1:
$ \left\{ \begin{array}{ll} x+y-z=7 (1)\\ x^2+y^2-z^2=37 (2)\\ x^3+y^3-z^3=1 (3) \end{array} $
$ (1) \Longleftrightarrow x+y=7+z(4)\\ (2) \Longleftrightarrow (x+y)^2-2xy=37+z^2 (5)\\ (4)&5 \Longleftrightarrow (7+z)^2-2xy=37+z^2\\ \Longleftrightarrow (49+14z+z^2)-2xy=37+z^2\\ \Longleftrightarrow xy=\frac{(49+14z+z^2)-(37+z^2)}{2}\\ \Longleftrightarrow xy=6+7z (6)\\ (3) \Longleftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)-z^3=1(7) $
Thay (4)&(6) vào (7) ta có
$ (7+z)^3-3(6+7z)(7+z)-z^3=1\\ \Longleftrightarrow (z^3+21z^2+147z+343)-(21z^2+165z+126)-z^3=1\\ \Longleftrightarrow -18z+217=1\\ \Longleftrightarrow 18z=216\\ \Longleftrightarrow z=12$
Thay z=12 vào (4) và (6) ta có x=9, y=10 hoặc x=10,y=9.
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (9,10,12); (10,9,12)

Ðề: ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 năm 2008 ( Toán )

Thấy toán thì MH thấy tay chân ngứa ngáy nhưng ko có thời gian nên đành gác lại khi nào rãnh giải tiếp. Hehe

Ðề: ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 năm 2008 ( Toán )

Câu 3:
Xét hàm số:
$ f(x)=x^2\sqrt[n]{1-x} \forall x \in (0,1) \wedge n \in N^*\\ f'(x)=(2x)\sqrt[n]{1-x}+x^2(-\frac {1}{n\sqrt[n]{(1-x)^{n-1}}})\\ =x\frac{2n-(2n+1)x}{n\sqrt[n]{(1-x)^{n-1}}}\\ f'(x)=0 \Longleftrightarrow x=\frac{2n}{2n+1} $
Vậy ta có f(x) đạt cực trị tại:
$ x=\frac{2n}{2n+1} $
Để biết đây là cực đại hay cực tiểu chúng ta tính đạo hàm cấp 2 của f(x) hoặc thử giá trị của f(x) tại x nào đó thuộc miền trị.
Ta có:
$ f(\frac{2n}{2n+1})=\frac{4n^2}{(2n+1)^2\sqrt[n]{2n+1}} (1)\\ f(0)=f(1)=0 (2) $
(1) và (2) ta thấy hàm đạt cực đại tại
$ x=\frac{2n}{2n+1} \Longrightarrow f(x) \leq f(\frac{2n}{2n+1}) \leq \frac{2n}{2n+1}\frac{1}{\sqrt[n]{2n+1}} (3) $
Từ (3) cho ta đpcm.

Ðề: ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 năm 2008 ( Toán )

Bài này có cái gì vướng vướng! Có cao thủ nào ra tay chỉ chỗ sai giúp ko? Xin cám ơn nhiều!

Ðề: ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 năm 2008 ( Toán )

Câu 2:
Ta có: $ S_{\Delta ABC} = S (1)\\ \frac {S_{\Delta BNC}}{S_{\Delta BAC}} = \frac{NC}{AC} (2) $
Giả thuyết cho:
$4 \vec{NA}+\vec{NC}=\vec{0}\\ \Longleftrightarrow 4\vec{NA} = -\vec{NC}\\ \Longleftrightarrow 4\vec{NC}+4\vec{CA} = -\vec{NC}\\ \Longleftrightarrow 5\vec{NC} = -4\vec{CA} \\ \Longrightarrow 5 NC = 4AC\\ \Longleftrightarrow \frac{NC}{AC} =\frac{4}{5} (3)$
Từ (2) và (3) ta có:
$\frac {S_{\Delta BNC}}{S_{\Delta BAC}} = \frac{4}{5} \Longleftrightarrow S_{\Delta BNC} = \frac{4}{5} S.$
Cách tính tương tự ta có:
$S_{\Delta CKA}=\frac{1}{15} S\\ S_{\Delta AMB}=\frac{1}{31} S$
Tiếp tục tính $S_{\Delta CFN}$ theo S.
Ta có:
$\frac{S_{\Delta FCN}}{S_{\Delta FAC}}=\frac{CN}{AC}=\frac{4}{5}\\ \Longleftrightarrow S_{\Delta FCN} =\frac{4}{5} S_{\Delta FAC}\\ \frac{S_{\Delta FAC}}{S_{\Delta FBC}}=\frac{{h^A}_{FC}}{{h^B}_{FC}}=\frac{{h^A}_{K C}}{{h^B}_{KC}}=\frac{S_{\Delta CAK}}{S_{\Delta CBK}}=\frac{AK}{BK}=\frac{1}{14}\\ S_{\Delta FAC}=\frac{1}{14}S_{\Delta FBC}\\ \Longleftrightarrow \frac{5}{4} S_{\Delta FCN} =\frac{1}{14}{S_{\Delta FBC}} \\ \Longleftrightarrow S_{\Delta FCN}=\frac{2}{35}S_{\Delta FBC}\\ \Longleftrightarrow S_{\Delta FCN} =\frac{2}{35} (S_{\Delta BNC} -S_{\Delta FCN})\\ \Longleftrightarrow S_{\Delta FCN} =\frac{2}{37}S_{\Delta BNC}= \frac{2}{37}\frac{4}{5} S=\frac{8}{185}S. $
Tương tự ta tính được $S_{\Delta BEM}$ và $S_{\Delta ADK}$ theo S.
Cuối cùng:
$S_{\Delta DEF}=S-(S_{\Delta BNC}+S_{\Delta CKA}+S_{\Delta AMB})+(S_{\Delta BEM}+S_{\Delta CFN}+S_{\Delta ADK})$

Ðề: ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 năm 2008 ( Toán )

Câu 3 chị Mỹ Hạnh có thể giải mà ko dùng đạo hàm ko,vì lớp 10 chưa học cái này.
ah,thi olympic 30/4 môn toán 10,có bạn Trí-A07 là con thầy Minh đạt được huy chương đồng.Đúng thật là "con nhà tông".

Re: ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 năm 2008 ( Toán )

Cảm ơn bạn G đã gửi những thông tin rất hữu ích. Các bạn học sinh không có dịp đi thi, cũng có dịp tự lượng sức! Đơn cử như trường hợp của chị Mỹ Hạnh! :)

Re: ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 năm 2008 ( Toán )

My Hanh la tên của một xã ở huyện Đức Hòa chứ không phải "chị Mỹ Hạnh" đâu. Anh Mỹ Hạnh già rồi mà vẫn còn "bén" quá. Con của thầy Minh giờ đã lớn thế rồi sao? Hồi đó mình đến nhà thầy, thấy thằng bé ấy còn nhỏ xíu mà, giờ đã học lớp 10 rồi sao? Thời gian trôi qua nhanh quá! Anh Phan Phuong quá hiểu My Hanh là ai mà vẫn gọi chị!!
Không lẽ là sự thật, anh Myhanh di Thai Lan roi sao??? Sau nay nếu có dịp gặp anh P chac la phải chercher mới được.

Re: ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 năm 2008 ( Toán )

Bài BDT có thể được giải rất nhanh gọn bằng BDT Cauchy áp dụng cho 2n+1 số thực dương: x/2n,x/2n,...,x/2n,1-x.
Năm nay đề thi có vẻ thực tế hơn mọi năm, không đánh đố. Học sinh nắm vững kiến thức và có một độ tinh tế cần thiết trong tính toán là có thể giải được cả 5 câu trên. Với đề thi này và các học sinh có trình độ tốt tham gia thi thì chắc là phải giải 4 bài trở lên mới có hy vọng đoạt giải.

Tuy nhiên nếu học sinh trường mình giải bài BDT như anh My Hanh thì sẽ bị nghi là gian lận (Cho học sinh lớp 11 + 0.5 đi thi ở hạng cân lớp 10, hi hi, trong bóng đá U21 thì gọi là gian lận tuổi)