Đề thi HSG cấp tỉnh vòng 1 năm học 2007-2008
 

Ngày thi 13/11/2007
Thời lượng:180 phút (không kể phát đề)
Câu 1 (3đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C):y=1/x. Trên đường cong này lấy 3 điểm phân biệt A, B, C. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên đường cong (C).
Câu 2 (3đ) Giải phương trình:
|ln(x^2-x+1)|+|ln(2*x^2-x+1)| = |ln[(x^2-x+1)*(2*x^2-x+1)]|
Câu 3 (2,5đ)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi d là tiếp tuyến tại B của đường tròn O, MN là đường kính thay đổi quay quanh O (M,N là hai điểm thuộc đường tròn). Đường thẳng đi qua M và vuông góc với d cắt AN tại H. Tìm quỹ tích của H khi M chạy trên đường tròn.
Câu 4 (1,5đ)
Cho hai số thực x,y thỏa mã điều kiện 0<=x<=y<=6 và x+y <=10. Chứng minh rằng x^2+y^2 <= 52.

Ðề: Đề thi HSG cấp tỉnh vòng 1 năm học 2007-2008
 

Nhận xét:
Đề bài quá dễ và chỉ bao gồm những kiến thức nằm trong SGK do đó một học sinh bình thường cũng có thể giải được chứ không cần học sinh giỏi.
Câu hơn thua điểm nhau theo myhanh là câu số 4.
Xin mời các bạn yêu toán cùng myhanh giải nha!

Ðề: Đề thi HSG cấp tỉnh vòng 1 năm học 2007-2008
 

đặt hai biến mới u và v để xét:
[IMG]http://img413.images****.us/img413/7044/1agn7.gif[/IMG]

dấu bằng xảy ra:

[IMG]http://img225.images****.us/img225/9291/1bjt0.gif[/IMG]

ta sẽ xuất hiện hai trường hợp:

[IMG]http://img267.images****.us/img267/3307/44751965dk8.gif[/IMG]
[IMG]http://img98.images****.us/img98/8559/99833652nf9.gif[/IMG]

tổng hợp hai bộ nghiệm trên ta được đáp án của bài toán:

[IMG]http://img216.images****.us/img216/2998/14201439du3.gif[/IMG]
[IMG]http://img87.images****.us/img87/6418/downloadxw7.gif[/IMG]

Re: Đề thi HSG cấp tỉnh vòng 1 năm học 2007-2008
 

Câu 4.
Từ đề bài ta suy ra 4<=x,y<=6. Suy ra (x-4)(x-6)<=0. Khai triển ta được x^2<=10x-24;y^2<=10y-24. Cộng lại thì được x^2+y^2<=10(x+y)-48<=52.

Câu 1: A(a,1/a); B(b,1/b); C(c,1/c). H(-1/abc,-abc).
Câu 2: pt tương đương với ln(x^2-x+1).ln(2x^2-x+1) >=0. Giải BPT này được x>=1 hoặc x<=1/2.
Câu 3: Xét phép đối xứng tâm A. Quỹ tích H là ảnh của đường tròn (O) qua phép DXT A

Re: Đề thi HSG cấp tỉnh vòng 1 năm học 2007-2008
 

Bài 2 áp dụng dấu bằng trong bất đẳng thức |x+y|<=|x|+|y|.

Re: Đề thi HSG cấp tỉnh vòng 1 năm học 2007-2008
 

Bài giải của Giang có thể làm gọn hơn nếu có nhận xét: u<=v

Re: Đề thi HSG cấp tỉnh vòng 1 năm học 2007-2008
 

Đề thi này em thấy dễ quá anh My hanh ơi. Theo ý kiến riêng của em thì một đề thi như thế này không thể dùng để thi HSG được. Không biết đề thi vòng 2 có khá hơn không?

Ðề: Re: Đề thi HSG cấp tỉnh vòng 1 năm học 2007-2008
 

Chính giải sai các điểm sau:
1.Quỹ tích xủa H là H((O),A) nhưng bỏ đi 1 điểm đó là điểm H(B,A). Trong đó H(X,Y) là ảnh của điểm X hay hình X qua tâm Y. Cái này sẽ mất đi chừng 0.5-1 điểm vì câu này đến 3 điểm.
2. Câu 1. Từ đề bài hoàn toàn không thể suy ra 4<=x,y<=6 đâu nha mà em phải đi chia khoản để chứng minh. Vì x=y=1 vẫn thoả đề bài vậy.
3. Câu 1 thì cái lỗi của học sinh khi giải là không lý luận cho a,b,c là ba số khác nhau. Theo anh chấm thiếu phần này trừ 0.5 điểm. Đề tài không hề cho a,b,c là ba số khác nhau do đó ta phải suy luận ra từ dạng của đường cong y=1/x.
Hi vọng lần sau đề sẽ khá hơn! Kỳ này chinhlh được 10 không?

Ðề: Đề thi HSG cấp tỉnh vòng 1 năm học 2007-2008
 

Ðề: Đề thi HSG cấp tỉnh vòng 1 năm học 2007-2008
 

theo hướng của chinhlh, ta có thể giải như sau:
xét hai trường hợp [IMG]http://img264.images****.us/img264/2498/77994916kp0.gif[/IMG] và [IMG]http://img107.images****.us/img107/7513/13239423uf0.gif[/IMG] :

TH1: [IMG]http://img264.images****.us/img264/2498/77994916kp0.gif[/IMG]
khi đó:
[IMG]http://img20.images****.us/img20/5417/10ty6.gif[/IMG]
Dấu "=" xảy ra <=> x=4 và y=6

TH2: [IMG]http://img107.images****.us/img107/7513/13239423uf0.gif[/IMG]
ta có:
[IMG]http://img230.images****.us/img230/2703/10ct7.gif[/IMG]

tương tự xét y, ta cũng được:

[IMG]http://img140.images****.us/img140/991/11gd1.gif[/IMG]

kết hợp (*) và (**), ta được:
[IMG]http://img265.images****.us/img265/6461/12wl3.gif[/IMG]
mà:
[IMG]http://img403.images****.us/img403/150/13jw6.gif[/IMG]
tóm lại =>(dpcm)!