đề Thi Hsgqg Toán 2009

[BS gau]

hok bít làm thì cười chứ sao
Câu 1: Giải hệ pt:

\left { \begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\frac{1}{ \sqrt{1+2y^2}}=\frac{2}{\sqrt{1+2xy}}\\
\sqrt{x(1-2x)}+\sqrt{y(1-2y)}=\frac{2}{9}
\end{array} \right

Câu 2: Cho dãy số x_n
x_1=\frac{1}{2}
x_{n+1}=\frac{\sqrt{{x_n^2}+4x_n}+x_n}{2}
Đặt y_n=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{{x_i}^2}
Chứng ming rằng (y_n) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3: Trong mặt phẳng cho 2 điểm A,B cố định. C là điểm di động sao cho \hat{ACB} =\alpha. (I) nội tiếp \Delta{ABC} tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại E,F,D. 2 đường thẳng IA, IB lần lượt cắt đường thẳng EF tại M,N. CMR:
a) MN=const
b) (DMN) đi qua một điểm cố định.

Câu 4: Cho a,b,c là các số thực thỏa a^n+b^n+c^n là số nguyên(n nguyên dương). CMR tồn tại các số nguyên p,q,r sao cho a,b,c là nghiệm của phương trình x^3+px^2+qx+r=0

Câu 5:Cho n là số nguyên dương. Gọi T là tập hợp 2n số nguyên dương đầu tiên. Có bao nhiêu cách chọn S,
S \subset T sao cho với a, b là 2 fần tử của S thì không tồn tại \|a-b| \in \{1;n}
Chú ý:Tâp hợp rỗng cũng thỏa mãn tính chất trên.

[chinhlh]

Câu 1: Giải hệ pt:
\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+2y^2}}=\f rac{2}{\sqrt{1+2xy}}
\sqrt{x(1-2x)}+\sqrt{y(1-2y)}=\frac{2}{9}

Câu 2: Cho dãy số x_n
x_1=\frac{1}{2}
x_{n+1}=\frac{\sqrt{{x_n^2}+4x_n}+x_n}{2}
Đặt y_n=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{{x_i}^2}
Chứng ming rằng (y_n) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3: Trong mặt phẳng cho 2 điểm A,B cố định. C là điểm di động sao cho \hat{ACB} =\alpha. (I) nội tiếp \Delta{ABC} tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại E,F,D. 2 đường thẳng IA, IB lần lượt cắt đường thẳng EF tại M,N. CMR:
a) MN=const
b) (DMN) đi qua một điểm cố định.

Câu 4: Cho a,b,c là các số thực thỏa a^n+b^n+c^n là số nguyên(n nguyên dương). CMR tồn tại các số p,q,r sao cho a,b,c là nghiệm của phương trình x^3+px^2+qx+r=0

Câu 5:Cho n là số nguyên dương. Gọi T là tập hợp 2n số nguyên dương đầu tiên. Có bao nhiêu cách chọn S,
S \subset T sao cho với a, b là 2 fần tử của S thì không tồn tại \|a-b| \in \{1;n}
Chú ý:Tâp hợp rỗng cũng thỏa mãn tính chất trên.



Bài 1: Từ phương trình thứ hai ta có 0\leq x,y\leq \frac{1}{2}. Từ phương trình đầu tiên ta sẽ tính được x=y. Sử dụng BDT Bunhiakovski và BDT sau đây:
\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\leq \frac{2}{1+ab}
Trong đó 0\leq a,b\leq 1. Đương nhiên là phải chứng minh BDT này nhưng việc chứng minh là không khó.


Bài 2: Ta thấy dãy x_n là dãy tăng và không có giới hạn hữu hạn nên phải tiến ra vô cùng.
Ta tính được:

\frac{1}{x_{n+1}^2}=\frac{1}{x_{n}} - \frac{1}{x_{n+1}}.

Từ đây tính được giới hạn cần tìm là 6.

[chinhlh]

Câu 4 có thể là:
Cho a,b,c là các số thực thỏa a^n+b^n+c^n là số nguyên với mọi số nguyên dương n. CMR tồn tại các số nguyên p,q,r sao cho a,b,c là nghiệm của phương trình x^3+px^2+qx+r=0

Ta cần chứng minh ab+bc+ca và abc là 2 số nguyên.
Ta có 2(a^3+b^3+c^3)-6abc=(a+b+c)(3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2. Từ đó suy ra 6abc là số nguyên. Thay a,b,c bởi a^2,b^2,c^2 ta được 6a^2b^2c^2 là số nguyên và do đó abc\in Z.
Tương tự như vậy ta chứng minh được 2(ab+bc+ca) và 2(ab+bc+ca)^2 đều là số nguyên. Từ đó suy ra kết quả.