Olympic DBSCL

[chinhlh]

Ngày mai các sĩ tử của LQD sẽ tham gia cuộc thi DBSCL ở Tien Giang!
Nhờ gió đông gởi những lời chúc tốt đẹp nhất của chinhlh đến các bạn học sinh tham gia kỳ thi này. Chúc các bạn đội Toán mang về vài chiếc HCV. Hãy nghĩ rằng đề thi là... không khó!!!

[ti_sun]

Thi ở Tiền Giang chứ hok fải Bến Tre anh ui..chúc các bạn thi tốt

[chinhlh]

Đúng rồi, nhầm!

[myhanh]

Chúc tất cả các đội một mùa vàng nhé! Yeah!
Nhớ post đề lên nha ti_sun!

[ti_sun]

Dạ vâng..tất nhiên là thế...nếu em co' đề ạh!

[phanthuyen]

ủa Tí, ông hok thi hả??

[BS gau]

Câu 1:
Giải phương trình:
32x^{5}+32x^{4}-16x^{3}-16x^{2}+2x+1=0

[BS gau]

Câu 2:
Cho tam giac ABC. Gọi A', B', C' là các điểm bất kỳ lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB sao cho thẳng các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy. Tìm các giá trị lớn nhất của biểu thức: T=AB’.CA’.BC’

[chinhlh]

Câu 1:
Giải phương trình:
32x^{5}+32x^{4}-16x^{3}-16x^{2}+2x+1=0
Bài này có thể đưa về Lượng Giác để giải.

[BS gau]

Câu 3:
Giải phương trình sau trong tập hợp các số nguyên dương:
\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{\sq {2009}}

[BS gau]

Bài này có thể đưa về Lượng Giác để giải.
Nhưng vấn đề là e jải hok ra

[BS gau]

sao em đánh hok dc. Nói chung là căn 2009 đoá.

[BS gau]

Câu 5:
Cho hình hộp chữ nhật có độ dài ba kích thước là các số tự nhiên. Các mặt của hình hộp được sơn màu xanh. Chia hình hộp này thành các khới lập phương đơn vị bằng các mặt phằng song song với các mặt của hình hộp. Tìm các kích thước của hình hộp, biết rằng khối lập phương đơn vị không có mặt nào màu xanh bằng \frac{1}{3} tổng số các khối lập phương đơn vị.

[BS gau]

Câu 6:
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
Tìm min của:F=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}

[BS gau]

Câu 3:
Cho dãy số u_n thỏa mãn điều kiện:
i/ 0<u_n<1
ii/ u_n(1-u_{n-1})>\frac{1}{4} (n>=2)
Tìm limu_n

[chinhlh]

Câu 5:
Cho hình hộp chữ nhật có độ dài ba kích thước là các số tự nhiên. Các mặt của hình hộp được sơn màu xanh. Chia hình hộp này thành các khới lập phương đơn vị bằng các mặt phằng song song với các mặt của hình hộp. Tìm các kích thước của hình hộp, biết rằng khối lập phương đơn vị hkông có mặt nào màu xanh bằng \frac{1}{3} tổng số các khối lập phương đơn vị.

Gọi a,b,c là các kích thước của hhcn. Ta có 3(ab+bc+ca)=abc. Giải pt nghiệm nguyên dương này sẽ cho ta kết quả. Việc giải pt này là... không khó! và cũng có trong hầu hết các sách về số học!

[BS gau]

Gọi a,b,c là các kích thước của hhcn. Ta có 3(ab+bc+ca)=abc. Giải pt nghiệm nguyên dương này sẽ cho ta kết quả. Việc giải pt này là... không khó! và cũng có trong hầu hết các sách về số học!
Sao kì zdậy. E nghĩ pt phải là 3(a-2)(b-2)(c-2)=abc chứ

[chinhlh]

Anh nhầm!
Em co giai duoc pt nghiem nguyen do chua?

[BS gau]

Anh nhầm!
Em co giai duoc pt nghiem nguyen do chua?
Chưa. A jải júp e đi

[chinhlh]

Câu 1:
Giải phương trình:
32x^{5}+32x^{4}-16x^{3}-16x^{2}+2x+1=0

Khai triển cos(6x)=32cos^6x-48cos^4x+18x^2-1
Nhận thấy x=1 không phải là nghiệm. Nhân hai vế của pt với (x-1) rồi đặt x=cost ta được cos(6t)=cost. Giải ra được 5 nghiệm x. Như vậy là đủ nghiệm.
Cách làm này là rất dễ dàng nếu em biết được ý đồ ra đề của tác giả. Nói chung là bài này rất đánh đố.
Cũng có thể làm như sau:
Biến đổi pt về dạng tương đương 2(x+1)(4x^2-1)^2=1. Đặt x=cost rồi giải giống như trên.

[chinhlh]

Sao kì zdậy. E nghĩ pt phải là 3(a-2)(b-2)(c-2)=abc chứ
Giả sử a\leq b\leq c. Ta có 3<a<7. Lần lượt xét a=4, a=5, a=6 thì sẽ được kết quả. Bài này có nhiều đáp án.

[chinhlh]

Câu 6:
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
Tìm min của:F=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}
Chỉ cần sử dụng BDT (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca) là
có ngay kết quả.

[chinhlh]

Câu 3:
Cho dãy số u_n thỏa mãn điều kiện:
i/ 0<u_n<1
ii/ u_n(1-u_{n-1})>\frac{1}{4} (n>=2)
Tìm limu_n
Dãy số này tăng và bị chặn trên nên có giới hạn. Dễ thấy giới hạn đó là 0,5.

[chinhlh]

Câu 2:
Cho tam giac ABC. Gọi A', B', C' là các điểm bất kỳ lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB sao cho thẳng các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy. Tìm các giá trị lớn nhất của biểu thức: T=AB’.CA’.BC’

Đặt x=\frac{BC}{CA'},y=\frac{AC}{AB'}, z=\frac{AB}{BC'}. Ta có (x-1)(y-1)(z-1)=1. Áp dụng BDT (a+1)(b+1)(c+1)\geq (\sqrt[3]{abc}+1)^3 ta được xyz>=8. Từ đó suy ra kết quả.

[chinhlh]

Câu 3:
Giải phương trình sau trong tập hợp các số nguyên dương:
\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{\sq {2009}}

Ta thấy cả x và y đều chia hết cho 2009. Từ đó tìm ra được x=y=4.2009.

[chinhlh]

Câu 3:
Giải phương trình sau trong tập hợp các số nguyên dương:
\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{\sq rt{2009}}
Thay chữ sqrt bằng chữ sq là được dấu căn! Không biết tại sao nữa!

[chinhlh]

Chưa thấy bài 7. Đề thi lần này khá hay! Làm được 3 câu là đảm bảo có tiền!!! Sau khi có kết quả thì BSGau thông báo cụ thể cho mọi người hén!

[myhanh]

Khai triển cos(6x)=32cos^6x-48cos^4x+18x^2-1
Nhận thấy x=1 không phải là nghiệm. Nhân hai vế của pt với (x-1) rồi đặt x=cost ta được cos(6t)=cost. Giải ra được 5 nghiệm x. Như vậy là đủ nghiệm.
Cách làm này là rất dễ dàng nếu em biết được ý đồ ra đề của tác giả. Nói chung là bài này rất đánh đố.
Cũng có thể làm như sau:
Biến đổi pt về dạng tương đương 2(x+1)(4x^2-1)^2=1. Đặt x=cost rồi giải giống như trên.
Bài này cái khó là nhìn ra được -1<=x<=1
Rồi thấy dạng cos(6x) có hệ số gần giống với phương trình trên.
Nói chung bài này đánh đố cho vui chứ không hay ho gì cả.
Mình cứ thắc mắc tại sao hình hộp được sơn màu xanh mà không phải màu đỏ, màu vàng, màu trắng hay một màu nào khác? Tác giả muốn gửi đến học sinh điều gì chăng? Hay đơn giản tác giả thích màu xanh?
Mình vẫn thích nhất cái bài hình lập phương.

[stu]

trườnh mình giành được 13 huy chương, 2 vàng, 4 bạc, 7 đồng, 1 vàng Sinh, 1 vàng Anh văn.

[BS gau]

Câu 7 sai đề: Câu 3 cóa 3 nghiệm: (x,y)=(2624,128576),(8036,8036)
Mấu chốt là nhận ra rằng:2009=7sqrt{41}

[Gem]

Lời giải của Chinh không thật sự tự nhiên khi phải trả qua thêm 1 bước CM 1 bđt trung gian - là một điều ta chỉ nên ..tung chưởng khi gặp 1 bài BĐT khó hơn,
Đối với bài BĐT này cũng không có gì quá phức tạp.

Hãy cùng Gem phân tích 1 chút xíu trước khi ta giải :

Đề bài cho các số dương x,y,z và có tổng bình phương bằng 1 thì một cách tự nhiên ai ai cũng nghĩ đến Cô si ( thật ra theo nước ngoài là AM- GM mà Gem có pót bên kia ) đó là cách suy nghĩ chính xác. Cái khó là áp dụng cho mấy số và là số nào.

Ta thấy các dữ kiện sau , tổng bình phương =1, với x,y,z là các số dương ngang hàng, thôi thì nếu xảy ra dấu bằng thế thì
x = y = z = \sqrt {\frac{1}{3}} cái này thì trung bình cộng chắc ai cũng biết rồi.

vậy thì nếu thế vào VT =
\frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y} \ge \sqrt 3


Bình phương 2 vế :


\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }} + \frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }} + \frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }} + 2\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right) \ge 3 = 3.1 = 3\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)

Như vậy cái ta cần là phải CM cái BĐT này :


\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }} + \frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }} + \frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }} \ge \left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)

Đến đây áp dụng Cô Si 2 số cộng vế với vế :


2(\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }} + \frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }} + \frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }}) = (\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }} + \frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }}) + (\frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }} + \frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }}) + (\frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }}\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }}) \ge 2\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)


( đạp phải cứt mèo )

Dấu "=+ xảy ra như ở trên í.

Thật ra bài này nhạy theo bài :

France Pre - MO 2005 :

Cho các số thực dương x,y,z, thõa mãn x^2 + y^2 + z^2 = 3
CMR:

\frac{{xy}}{z} + \frac{{zx}}{y} + \frac{{yz}}{x} \ge 3


Đó cũng là lý do vì sao cuộc thi ĐBSCL ít được học sinh trong giới đánh giá cao là vậy.

[chinhlh]

Câu 7 sai đề: Câu 3 cóa 3 nghiệm: (x,y)=(2624,128576),(8036,8036)
Mấu chốt là nhận ra rằng:sqrt{2009}=7sqrt{41}
Lúc giải cứ nghĩ 2009 là nguyên tố.

[chinhlh]

Lời giải của Chinh không thật sự tự nhiên khi phải trả qua thêm 1 bước CM 1 bđt trung gian - là một điều ta chỉ nên ..tung chưởng khi gặp 1 bài BĐT khó hơn,
Đối với bài BĐT này cũng không có gì quá phức tạp.

Hãy cùng Gem phân tích 1 chút xíu trước khi ta giải :

Đề bài cho các số dương x,y,z và có tổng bình phương bằng 1 thì một cách tự nhiên ai ai cũng nghĩ đến Cô si ( thật ra theo nước ngoài là AM- GM mà Gem có pót bên kia ) đó là cách suy nghĩ chính xác. Cái khó là áp dụng cho mấy số và là số nào.

Ta thấy các dữ kiện sau , tổng bình phương =1, với x,y,z là các số dương ngang hàng, thôi thì nếu xảy ra dấu bằng thế thì
x = y = z = \sqrt {\frac{1}{3}} cái này thì trung bình cộng chắc ai cũng biết rồi.

vậy thì nếu thế vào VT =
\frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y} \ge \sqrt 3


Bình phương 2 vế :


\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }} + \frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }} + \frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }} + 2\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right) \ge 3 = 3.1 = 3\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)

Như vậy cái ta cần là phải CM cái BĐT này :


\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }} + \frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }} + \frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }} \ge \left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)

Đến đây áp dụng Cô Si 2 số cộng vế với vế :


2(\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }} + \frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }} + \frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }}) = (\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }} + \frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }}) + (\frac{{y^2 z^2 }}{{x^2 }} + \frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }}) + (\frac{{z^2 x^2 }}{{y^2 }}\frac{{x^2 y^2 }}{{z^2 }}) \ge 2\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)


( đạp phải cứt mèo )

Dấu "=+ xảy ra như ở trên í.

Thật ra bài này nhạy theo bài :

France Pre - MO 2005 :

Cho các số thực dương x,y,z, thõa mãn x^2 + y^2 + z^2 = 3
CMR:

\frac{{xy}}{z} + \frac{{zx}}{y} + \frac{{yz}}{x} \ge 3


Đó cũng là lý do vì sao cuộc thi ĐBSCL ít được học sinh trong giới đánh giá cao là vậy.

Vì giải BDT quen rồi nên em xài BDT đó cho nhanh. Hai cách giải giống nhau mà.
DBSCL là giải tập huấn mà! Như vậy là tốt lắm rồi.

[myhanh]

Lúc giải cứ nghĩ 2009 là nguyên tố.
Anh bị y chang!?
MH đang kiểm tra lại xem ba nghiệm có phải đã đủ chưa?
BS Gau có thể post bài giải đầy đủ lên được không?

[Gem]

riêng đối với bất đẳng thức Gem thấy nó rất " đẹp " vì vậy mình nên phân tích phương pháp giải cũng như mở rộng các hướng đi khác thì hay hơn, một phần cũng tạo điều kiện cho các em trong trường iu thích và theo dõi, thúc đẩy đội Toán có nhiều hs đam mê.

[BS gau]

Từ phương trình ta suy ra: x,y>2009
\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{7\s qrt{41}} (1)
\Leftrightarrow7\sqrt{41}=\sqrt{xy}-7\sqrt{41y}
\Leftrightarrow49*41x=xy+49*41y-14y\sqrt{41x}
Suy ra x=41a^2, với a \in N*
Tương tự: y=41b^2, với b \in N*
Phương trình (1) trở thành: \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{7} (2)
Từ phương trình (2), ta suy ra: a,b>7. Đặt a=7+m, b=7+n với m,n \in N*
Phương trình 2 được viết lại: \frac{1}{7+m}+\frac{1}{7+n}=\frac{1}{7} (3)
(3) \Leftrightarrow\text{mn}=7^2
Từ đó ta tìm được nghiệm của bài toán.

[chinhlh]

Từ phương trình ta suy ra: x,y>2009
\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{7 \sqrt{41}} (1)
\Leftrightarrow 7\sqrt{41x}=\sqrt{xy}-7\sqrt{41y}
\Leftrightarrow49*41x=xy+49*41y-14y\sqrt{41x}
Suy ra x=41a^2, với a \in N*
Tương tự: y=41b^2, với b \in N*
Phương trình (1) trở thành: \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{7} (2)
Từ phương trình (2), ta suy ra: a,b>7. Đặt a=7+m, b=7+n với m,n \in N*
Phương trình 2 được viết lại: \frac{1}{7+m}+\frac{1}{7+n}=\frac{1}{7} (3)
(3) \Leftrightarrow\text{mn}=7^2
Từ đó ta tìm được nghiệm của bài toán.
Lời giải rất tốt!

[khanhsy]

\red Cho\ \ a,b,c>0\ \ k\ge 1\ \ CMR:\sum_{cyclic}\frac{a^{k+2}}{b^{k+1}}\ge \sum_{cyclic}\frac{a^{k+1}}{b^{k}}

[chinhlh]

Đặt A là Vế Trái, B là vế phải. Ta có:
1. A\geq a+b+c.
2. (k+1)A\geq k.A+a+b+c
Sử dụng BDT Cauchy ta được
k\frac{a^{k+2}}{b^{k+1}}+a\geq (k+1)\frac{a^{k+1}}{b^k}.
Làm tương tự như vậy đẻ được thêm hai BDT nữa rồi cộng lại ta được
(k+1)A\geq(k+1)B.