Một bài phương trình hàm đặc sắc

[BS gau]

Tìm tất cả các hàm số f:R-->R thỏa :
f(x+f(y))+f(x*f(y)) = y+ f(x)+ y*f(x)
Hok bít cóa anh(chị) nào cùng em làm bài này dc hok. Ra tay đi các hiệp sĩ!!!!!!!!!!!!!!

[92A01]

Không biết cách này có đúng không, 92A01 post lên để mọi người xem có đúng không nhé:
- cho x=y, ta có:
f(x+f(x)) + f(x*f(x)) = x + f(x) + x*f(x)
đặt u = x + f(x) và v = x*f(x), khi đó:
f(u) + f(v) = u + v
Đặt u = v = t:
2f(t) = 2t => f(t) = t

[myhanh]

Sai rùi! u và v của anh có quan hệ toán học thì không thể cho u=v

[92A01]

Vậy thì thêm vài bước nữa:
- đặt u=0, v=0: f(0)=0, điều này thoả u=x*f(x) và v=x+f(x)
-đặt u=0: f(v)=v

VẬy có được không?

[92A01]

Mới chập chững làm thử thôi , hehheeh.

[myhanh]

u và v của anh không có miền trị trên R nên anh không thể đặt u=0 hay v=0 được.

[myhanh]

*Cho x=y=0 ta có:
f(0+f(0))+f(0*f(0))=0+f(0)+0*f(0)
<=> f(f(0))+f(0)=f(0)
<=> f(f(0)) = 0. (1)
*Cho x=0 ta có:
f(0+f(y))+f(0*f(y))=y+y*f(0)+f(0)
<=>f(f(y))=y+yf(0) (2)
*Chọn y=f(0)
f(x+f(f(0)))+f(x*f(f(0)))=f(0)+f(x)+f(0).f(x)
<=>f(x)=f(x)+f(0)+f(0).f(x)
<=>f(0)[f(x)+1]=0
<=> f(0)=0 v f(x)=-1.
Xét từng trường hợp cụ thể:

*f(0)=0 thay vào (2) suy ra f(f(y))=y với mọi y.
=>f(x)=x.
*f(x)=-1:
f(x+f(y))=-1
f(x*f(y))=-1
f(x+f(y))+f(x*f(y))=-2
y+yf(x)+f(x)=y-y-1=-1
Rõ ràng f(x)=-1 không là nghiệm.
Đáp số:
f(x)=x là nghiệm của phương trình trên.

[BS gau]

That ra bai nay em đa nhơ anh Chinh jai rui. Anh Chinh noi hay nen moi kiu em post bai len. Hôm nay em moi thay anh myhanh ra tay đo nha

[BS gau]

Anh myhanh ui. f(f(y)=y thi chua đu đê suy ra f(x)=x đâu

[myhanh]

Uh còn thêm một điều kiện nữa! Nhưng lâu quá nên ko nhớ là gì! Nhưng đến đó chắc là cũng được được rùi!

[chinhlh]

Trình độ của BS Gau cũng tốt đấy. Bạn có thể thử sức với bài toán phương trình hàm và BDT sau http://lqd-longan.com/forum/showthread.php?t=2156.
Ngày xưa khi học thầy Huy mình đã làm vài bài pth do chính thầy sáng tác. Hôm nay nhìn thấy hình thầy mình cảm thấy nhớ.
Ngay từ những ngày đầu bước vào trường thầy Huy thầy Hiệp đã nhắc đến anh Cát như là một biểu tượng để học trò noi theo. Mình đã cố gắng hết sức nhưng không làm được. Nay mới biết lovelqd chính là người mà mình đã thần tượng lâu rồi.
Chúc BS Gau lên đường thuận buồm xuôi gió.

[Gem]

xì, trên phố rùm ai ai cũng viết lovelqd là anh C ( Gem hay chọc với chị H ấy ), Chinh giờ này mới biết thì có lỗi rồi. Anh C thuộc thế hệ vàng của đội Toán, sau này chắc sẽ ko còn thấy thế hệ này nữa.

[BS gau]

Tìm tất cả các hàm f:R->R sao cho:
f(f(x+y))= f(x+y) + f(x)f(y) - xy

[chinhlh]

Tính được f(0)=0. Từ đó suy ra f(x).f(y)=xy và f^2(x)=x^2. Nếu tồn tại x khác 0 sao cho f(x)=x thì suy ra f(y)=y với mọi y. Hàm f(x)=-x không thỏa yêu cầu bài toán.
Việc tính f(0) là không khó.

[Le.Giang]

f(x+f(y))+f(x*f(y)) = y+ f(x)+ y*f(x)
cho x=y=0, ta được: f(f(0))=f(0), đặt f(0)=a, ta được f(a)=a (1)

cho x=0, ta được f(f(y))+a=y+a+ay => f(f(y))= (a+1)y (2)

cho y=a, (2) ta được: f(f(a))=(a+1)a kết hợp (1) => a=(a+1)a => a=0 => f(0)=0 (3)

cho x=0, ta được: f(f(y))=y (4)

phù, vài bữa giải tiếp!

[chinhlh]

Legiang vẫn còn nhớ PTH hả. Anh Myhanh cũng đã giải tới đây rùi. Vấn đề chủ yếu là tính được f(0), f(1), f(-1). Mọi chuyện sau đó là không khó.

[myhanh]

Tính được f(0)=0. Từ đó suy ra f(x).f(y)=xy và f^2(x)=x^2. Nếu tồn tại x khác 0 sao cho f(x)=x thì suy ra f(y)=y với mọi y. Hàm f(x)=-x không thỏa yêu cầu bài toán.
Việc tính f(0) là không khó.
Anh ch­ưa tính được f(0)!?

[myhanh]

cho x=y=0, ta được: f(f(0))=f(0)
Sai ở đây rùi LG ui!

[Le.Giang]

*Chọn y=f(0)
f(x+f(f(0)))+f(x*f(f(0)))=f(0)+f(x)+f(0).f(x)
<=>f(x)=f(x)+f(0)+f(0).f(x)
<=>f(0)[f(x)+1]=0
<=> f(0)=0 v f(x)=-1.*Chọn y=f(0)

f(x+f(f(0)))+f(x*f(f(0)))=f(0)+f(x)+f(0).f(x)

<=>f(x)+f(0)=f(x)+f(0)+f(0).f(x)

<=>f(0)f(x)=0

<=> f(0)=0 v f(x)=0.

[Le.Giang]

về nhà kiểm tra thử thì biết bài giải của mình bị sai!

[chinhlh]

Anh ch­ưa tính được f(0)!?

Để xem BSGau có làm được không? Anh em mình chờ lời giải của BSGau.

[myhanh]

Okie
Sách phương trình hàm. Tải ở đây (http://www.mediafire.com/?zjmzn53dzjo).

[Le.Giang]

f(x+f(y))+f(x*f(y)) = y+ f(x)+ y*f(x) (1)
chọn x=y=0:

(1)=> f(0+f(0))+f(0*f(0))=y+f(0)+0*f(0)

=> f(f(0))=0 (2)

chọn y=f(0):

(1) => f(x+f(f(0)))+f(x*f(f(0))=f(0)+f(x)+f(0)*f(x)

kết hợp với (2) => f(x)+f(0)=f(0)+f(x)+f(0)*f(x)

=> f(0)*f(x)=0

=>f(0)=0 v f(x)=0

* TH1: f(x)=0

khi đó:
VT=f(x+f(y))+f(x*f(y))=0

VP=y+ f(x)+ y*f(x)=y với mọi y

không phù hợp!

* TH2: f(0)=0

chọn x=0:
(1) =>f(f(y))=y với mọi y (3)

chọn x=-1và y=f(1):
(1) => f(-1+f(f(1)))+f(-f(f(1)))=f(1)+f(-1)+f(1)*f(-1)

kết hợp với (3), ta được:
f(1)+f(-1)*f(1)=0 (4)

rõ ràng f(1)=0 không thể xảy ra vì nếu f(1)=0 thì f(f(1))=f(0) vô lý vì f(f(1))=1 còn f(0)=0, như vậy (4) => f(-1)=-1 (5)

chọn y=-1:
(1) => f(x+f(-1))+f(x*f(-1))=-1+f(x)-1*f(x)

kết hợp với (5) ta được: f(x-1)+f(-x)=-1 (6)

đặt g(x)=f(x)-x với mọi x, từ (6) ta được:
g(x-1)+g(-x)=0 với g(0)=0

như vậy để đi tìm hàm f(x) ta bây giờ chỉ cần đi tìm tất cả các hàm số g:R-->R thỏa: g(x-1)+g(-x)=0 với g(0)=0

rõ ràng hàm g(x) trên có vô số nghiệm, điều này chỉ xảy ra khi g(x) chính là hàm tầm thường g(x)=0 với mọi x!

tóm lại: f(x)=x

PS: đang đợi bắt giò!

[chinhlh]

Hàm g(x)=sinx cũng có vô số nghiệm nhưng không phải hàm tầm thường. Suy luận của LeGiang là sai.

[chinhlh]

Đã bị bắt trúng giò chưa LeGiang?

[Le.Giang]

đang ngâm tiếp phương án khác để giải quyết!

[Le.Giang]

chọn x=0:
(1) =>f(f(y))=y \forall y (3)

chọn y=-1:
(1) => f(x+f(-1))+f(x*f(-1))=-1+f(x)-1*f(x)
kết hợp với (5) ta được: f(x-1)+f(-x)=-1 (6)

đặt g(x)=f(x)-x \forall x, từ (6) ta được:
g(x-1)+g(-x)=0 với g(0)=0

đặt g(x)=f(x)-x \forall x, từ (6) ta được:

g(x-1)+g(-x)=0 với {g(0)=0}, từ đây dễ dàng tính được {g(x)=0} \forall x \in {Z}

từ (3) ta có g(g(x)+x)=0 \forall x \in R hay g(x) \equiv 0 \forall x \in R, từ đây suy ra f(x)=x

[Le.Giang]

Tìm tất cả các hàm f:R->R sao cho:
f(f(x+y))= f(x+y) + f(x)f(y) - xy (1)đặt {a=f(0)}tính {f(0)}


chọn {x=x_0,y=0}

với \large {x_0} xác định sau.

(1) => f(f(x_0))=(a+1).f(x_0) (2)

nhấn thêm hai lần hàm f vào hai vế của (2) ta được:

f(f(f(f(x_0))))=f(f((a+1).f(x_0))) (3)

lại áp dụng (2) để giải quyết:

VT(3)= f(f(f(f(x_0)))) = (a+1).f(f(x_0)) = {(a+1)^2}.f(x_0)

VP(3)=f(f((a+1).f(x)))=(a+1).f((a+1).f(x_0))

ta có VT(3)=VP(3)
=> [\begin{array}{c}a+1=0\(4a)\\f((a+1).f(x_0))=(a+1). f(x_0)\(4b)\end{array}
TH1: a+1=0\(4a) khi đó f(0)=-1
chọn {x=y=0}:
(1) => f(f(0))=f(0)+{f^2}(0) => f(-1)=-1+{(-1)^2} => f(-1)=0 (4a1)
chọn {x=0,y=-1}:
(1) => f(f(-1))=f(-1)+f(0).f(-1) => {-1=0+0*(-1)} => {-1=0} hiển nhiên là không phù hợp!

TH2: f((a+1).f(x_0))=(a+1).f(x_0)\(4b)
đặt (a+1).f(x_0)=t_0, khi đó (4) => f(t_0)=t_0 (5) với \large t_0 là một điểm cố định


chọn {x=t_0,y=0}:

(1) => f(f(t_0))=f(t_0)+f(0).f(t_0)

kết hợp với (5) ta được:
t_0=t_0+f(0).t_0

=> f(0).t_0=0

=>[\begin{array}f(0)=0\\t_0=0\end{array} (6)

ta có {t_0=0} từ (5) => {f(0)=0}, như vậy (6) => {f(0)=0}
tìm \large f(x)
chọn {y=0}:
từ (1) => f(f(x))=f(x) (7)

từ (7) thế trở lại (1) ta được: f(x).f(y)=x.y (8)

chọn y=1:
từ (8) => f(x)=x.{\frac1{f(1)}} => f(x)={b.x} với b={\frac1{f(1)}} (9)

thế trở lại (1):

b^2.(x+y)=b.(x+y)+b.xy-xy

=> (b-1).[b.(x+y)-xy]=0 \forall x,y \in R

=> b=1 như vậy từ (9) => {f(x)=x}

[chinhlh]

đặt g(x)=f(x)-x \forall x, từ (6) ta được:

g(x-1)+g(-x)=0 với {g(0)=0}, từ đây dễ dàng tính được {g(x)=0} \forall x \in {Z}

từ (3) ta có g(g(x)+x)=0 \forall x \in R hay g(x) \equiv 0 \forall x \in R, từ đây suy ra f(x)=x

cho g(x)=-x với x không thuộc Z và g(x)=0 với x thuộc Z. Như vậy từ đẳng thức g(g(x)+x)=0 không suy ra được g(x)=0 với mọi x. Lại sơ hở nữa rùi!:redface:

[chinhlh]

chọn {x=x_0,y=0}với \large {x_0} xác định sau.

(1) => f(f(x_0))=(a+1).f(x_0) (2)

nhấn thêm hai lần hàm f vào hai vế của (2) ta được:

f(f(f(f(x_0))))=f(f((a+1).f(x_0))) (3)

lại áp dụng (2) để giải quyết:

VT(3)= f(f(f(f(x_0)))) = (a+1).f(f(x_0)) = {(a+1)^2}.f(x_0)


Sai ở chỗ này: Vế phải phải có 3 chữ f. Hơn nữa phải xét xem liệu f(0) có bằng -1 không rồi mới đem 2 vế chia cho f(0)+1.

[Le.Giang]

f(f(f(f(x_0))))=f(f((a+1).f(x_0))) (3).nhúng hàm f vô chỗ này đúng rùi (a+1).f(f(x_0)) = {(a+1)^2}.f(x_0)còn ở đây thiếu xét a+1=0

[Le.Giang]

đặt g(x)=f(x)-x \forall x, từ (6) ta được:

g(x-1)+g(-x)=0 với {g(0)=0}, từ đây dễ dàng tính được {g(x)=0} \forall x \in {Z}(7)

từ (3) ta có g(g(x)+x)=0 \forall x \in R hay g(x) \equiv 0 \forall x \in R(8), từ đây suy ra f(x)=xchỗ (8) suy ra được vì bị không chế ở (7)cho g(x)=-x với x không thuộc Z và g(x)=0 với x thuộc Z. Như vậy từ đẳng thức g(g(x)+x)=0 không suy ra được g(x)=0 với mọi x. Lại sơ hở nữa rùi!:redface:

[chinhlh]

f(f(f(f(x_0))))=f(f((a+1).f(x_0))) (3)

lại áp dụng (2) để giải quyết:

VT(3)= f(f(f(f(x_0)))) = (a+1).f(f(x_0)) = {(a+1)^2}.f(x_0)

Ok. Chỗ này đúng rồi. Cần xét thêm trường hợp f(0)=-1 nữa là đủ.

[chinhlh]

chỗ (8) suy ra được vì bị không chế ở (7)

Không hiểu LeGiang nói gì???

[chinhlh]

Hơn nữa cũng chỉ tính được g(0)=0 và g(-1)=0 thôi. Chưa thể kết luận g(x)=0 với mọi x thuộc Z.

[Le.Giang]

Hơn nữa cũng chỉ tính được g(0)=0 và g(-1)=0 thôi. Chưa thể kết luận g(x)=0 với mọi x thuộc Z.hehe, chỗ này em lại tính sai nữa rùi, để em ngâm nữa!

[BS gau]

Cho x=0 ta được f(f(x))=f(x) + f(0)*f(x) (1)
từ đó ta được f(x+y)*f(0) = f(x)*f(y) - xy
Giả sữ tồn tại a sao cho f(a) = 0
thế x=a vào (1) ta suy ra f(0)=0
từ đó ta được f(x)*f(y) = xy
Cho x = y ta tìm đuợc f(x) = x hoặc f(x)=-x
thừ lại ta thấy chỉ cóa f(x) = x thòa bài toán

[Le.Giang]

Giả sữ tồn tại a sao cho f(a) = 0giả sử quá hay!:byebye:

[chinhlh]

Cho x=0 ta được f(f(x))=f(x) + f(0)*f(x) (1)
từ đó ta được f(x+y)*f(0) = f(x)*f(y) - xy
Giả sữ tồn tại a sao cho f(a) = 0
thế x=a vào (1) ta suy ra f(0)=0
từ đó ta được f(x)*f(y) = xy
Cho x = y ta tìm đuợc f(x) = x hoặc f(x)=-x
thừ lại ta thấy chỉ cóa f(x) = x thòa bài toán

BS Gau có thể chỉ ra sự tồn tại của a không?
BS Gau vẫn mắc phải một sai lầm rất tế nhị. Hầu hết các học sinh mà mình đã tiếp xúc đều hiểu sai chỗ này. Từ f^2(x)=x^2, \forall x không suy ra được
f(x)=x với mọi x hoặc f(x)=-x với mọi x dược. Ta chỉ có thể suy ra rằng, tại mỗi giá trị của x thì f(x) hoặc bằng x hoặc bằng -x. Ví dụ, hàm f(x)=trị tuyệt đối của x cũng thỏa điều kiện f^2(x)=x^2 nhưng không phải là một trong hai hàm mà em đã chỉ ra.

[BS gau]

Hình như hơi hỉu hỉu. Mấy hôm nay em cứ thắc mắc trong sách là tại sao ko ra lun cái hàm mà cứ phải thế đi thế lại. Thanks!

[Le.Giang]

bài trên (http://lqd-longan.com/forum/showthread.php?p=48831#post48831) em tét lại rùi, nhờ anh sửa dùm

[Le.Giang]

cho 2 tập hợp :
F= f(1), f(2),..., f(n),... và G=g(1), g(2),..., g(n),... thoả:
i/ \largeF\cup=N*
ii/ \largef\capG=\phi
iii/ f(1)<f(2)<...<f(n)<...
g(1)<g(2)<...<g(n)<...
iv/ g(n)=f(f(n)) + 1
Tính f(91)?bác chỉnh lại dùm, mà nè, bác tạo topic mới đi để dễ theo dõi, topic này giải hai bài của bác là muốn sặc rùi!

[BS gau]

Vậy thì e sửa lại. Sau khi tìm được f(x)*f(y) = xy (2)
cho x=y=a ta tìm được a=0. Từ đó suy ra f(x)=0 thì ta có x=0 và ngược lại.
thế x=y=1 vào (2) => f(1)=1 v f(1)=-1
TH1: f(1)=1. Thế y=1 vào (2) suy được f(x)=x và thấy hàm thỏa bài toán.
TH2 :f(x)=-1. Thế y=-1 vào suy ra f(x)=-x và hàm này ko thoả.
KL: f(x)=x là nghiệm duy nhất của bài toán.

[Le.Giang]

cho x=y=a ta tìm được a=0. Từ đó suy ra f(x)=0 thì ta có x=0 và ngược lại.không hiểu BS Gấu thế vào đâu!

[chinhlh]

Lời giải của LeGiang đúng rồi. Legiang có khả năng tấn công không mệt mỏi và đã đạt thành ý nguyện. Chính vì vậy nên lời giải hơi dài. Nhưng quan trọng là đã giải đúng. Ở bước cuối cùng Legiang không xét trường hợp f(1)=0 nhưng cũng dễ nhận ra rằng trường hợp này không xảy ra. Có lẽ đó cũng là chủ ý của Legiang. Lời giải của BSGau rất chính quy. Chỉ còn thiếu chỗ tìm ra a nữa thôi. Có lẽ BSGau đã có trong tay lời giải hoàn chỉnh và hiểu tại sao người ta lại làm dài dòng như vậy rồi. Có thể thấy một trong hai giá trị f(0) hoặc -f(0) là giá trị a mà BS Gau đề cập đến.

[Le.Giang]

em có kỷ niệm rất sâu sắc lớp 12 về giải phương trình hàm, cũng vì lơ là là mất đến 5.5 điểm quý giá! trong khi em chỉ cần thêm 3,5 điểm.

[BS gau]

Cho 2 tập hợp F=f(1), f(2),...,f(n),...
FUG=N*
F và G ko coá phần tử chung.
G=g(1), g(2),...,g(n),...
f(1)<f(2)<...<f(n)<...
g(1)<g(2)<...<g(n)<...
g(n)=f(f(n)) + 1
Tính f(91)

[Le.Giang]

Cho 2 tập hợp F=f(1), f(2),...,f(n),...
G=g(1), g(2),...,g(n),...
\largeF\cupG=N*
\largeF\capG=\phi
f(1)<f(2)<...f<(n)<...
g(1)<g(2)<...<g(n)<...
g(n)=f(f(n)) + 1
Tính f(91)BS gấu nên tạo topic mới đi để anh em dễ theo dõi!

[BS gau]

E thấy bài jải của mình sau khi sửa lại đâu cóa jì sai đâu chinlh.

[BS gau]

Vậy thì e sửa lại. Sau khi tìm được f(x)*f(y) = xy (2)
cho x=y=a và thế vào (2) ta tìm được a=0. Từ đó suy ra f(x)=0 thì ta có x=0 và ngược lại.
thế x=y=1 vào (2) => f(1)=1 v f(1)=-1
TH1: f(1)=1. Thế y=1 vào (2) suy được f(x)=x và thấy hàm thỏa bài toán.
TH2 :f(x)=-1. Thế y=-1 vào suy ra f(x)=-x và hàm này ko thoả.
KL: f(x)=x là nghiệm duy nhất của bài toán.

[Le.Giang]

Vậy thì e sửa lại. Sau khi tìm được f(x)*f(y) = xy (2)
cho x=y=a và thế vào (2) ta tìm được a=0.
cho x=y=a và thế vào (2) => {f^2}(a)={a^2} không kết luận được a=0!

[chinhlh]

Vậy thì e sửa lại. Sau khi tìm được f(x)*f(y) = xy (2)
cho x=y=a và thế vào (2) ta tìm được a=0. Từ đó suy ra f(x)=0 thì ta có x=0 và ngược lại.
Khó hiểu là ở chỗ này. Không biết có phải em đặt a=f(0) không? Sau đó em ghi là
Từ đó suy ra f(x)=0 thì ta có x=0 và ngược lại. Câu này cũng khó hiểu nữa.

[Le.Giang]

Cho x=0 ta được f(f(x))=f(x) + f(0)*f(x) (1)
từ đó ta được f(x+y)*f(0) = f(x)*f(y) - xy (*)
Giả sữ tồn tại a sao cho f(a) = 0
thế x=a vào (1) ta suy ra f(0)=0
từ đó ta được f(x)*f(y) = xy
Cho x = y ta tìm đuợc f(x) = x hoặc f(x)=-x
thừ lại ta thấy chỉ cóa f(x) = x thòa bài toánBS gấu giải thích rõ hơn ở (*) đi!

à, cho hỏi BS Gấu thuộc khóa mấy LQD dzậy?

[BS gau]

BS gấu giải thích rõ hơn ở (*) đi!

à, cho hỏi BS Gấu thuộc khóa mấy LQD dzậy?
Từ f(f(x)) = f(x)f(0) + f(x) => f(f(x+y)) = f(x+y)f(0) + f(x) (3)
Đem (3) thế vào đề bài.
E là KA07. Em đã nghe lovelqd nói về a rùi. Cọp lắm đúng ko?

[chinhlh]

Ở trên BSGau đã áp dụng công thức ff(x)=(a+1)f(x) vào đẳng thức ban đầu. Giờ thì rõ ràng rồi. Vì ngay từ ban đầu đã giả sử f(a)=0 nên thắc mắc của LG ở phần trên cũng được giải quyết. Còn một chướng ngại nữa là nếu không tồn tại a sao cho f(a)=0 thì giải quyết như thế nào. Lời giải chưa hoàn chỉnh.

[BS gau]

Khó hiểu là ở chỗ này. Không biết có phải em đặt a=f(0) không? Sau đó em ghi là
Từ đó suy ra f(x)=0 thì ta có x=0 và ngược lại. Câu này cũng khó hiểu nữa.Sau khi tìm được f(x)*f(y) = xy (2)
cho x=y=a và thế vào (2) : f(a)^2 = a^2. E đã jả sử f(a)=0 rùi nên suy ra a=0.

[BS gau]

Ở trên BSGau đã áp dụng công thức ff(x)=(a+1)f(x) vào đẳng thức ban đầu. Giờ thì rõ ràng rồi. Vì ngay từ ban đầu đã giả sử f(a)=0 nên thắc mắc của LG ở phần trên cũng được giải quyết. Còn một chướng ngại nữa là nếu không tồn tại a sao cho f(a)=0 thì giải quyết như thế nào. Lời giải chưa hoàn chỉnh.
Cái này thì e cũng ko rõ nữa. chinhlh và legiang giup đi

[Le.Giang]

vấn đề cần giải quyết là có tồn tại f(a)=0 hay không?

[Le.Giang]

bài trên (http://lqd-longan.com/forum/showthread.php?p=48831#post48831) em tét lại rùi, nhờ anh sửa dùmlick vào đây (http://lqd-longan.com/forum/showthread.php?p=48831#post48831)!

[chinhlh]

Trong đẳng thức f(0)f(x+y)=f(x)f(y)-xy ta cho x=f(0), y=-f(0) thì ok.

[Le.Giang]

đang ngứa tay, anh đi ra đề đi, tạo một topic mới nhé!

[BS gau]

ờ ha, dễ vậy mà nghỉ ko ra. À, nếu mấy a cảm thấy bài này wa dc rùi thì típ bài thứ 2 đi.

[chinhlh]

lick vào đây (http://lqd-longan.com/forum/showthread.php?p=48831#post48831)!
Anh kiểm tra hồi nãy rồi mà. Không lẽ mới sửa nữa hả?

[Le.Giang]

không có, ghi lại cho BS gấu!

[chinhlh]

Bài đầu tiên chỉ cần tính được f(1) là ok. Và cũng không khó lắm. Hai em có thể làm bài này cho vui:
Tìm tất cả các hàm số f\,:\,\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn
f(x^{2009}+y^{2009})=x^{2008}f(x)+y^{2008}f(y)\,,\ ,\forall x,y\in \mathbb{R}.

[BS gau]

Cho 2 tập hợp F=f(1), f(2),...,f(n),...
FUG=N*
F và G ko coá phần tử chung.
G=g(1), g(2),...,g(n),...
f(1)<f(2)<...<f(n)<...
g(1)<g(2)<...<g(n)<...
g(n)=f(f(n)) + 1
Tính f(91)
Chời ơi, e hok bít jải mà chinhlh cứ nói ko khó là sao. E nhìn vô đề bài và cũng ko thấy một ý tưởng nào cho việc jải cả.

[chinhlh]

Anh nói bài PTH đầu tiên, chứ không phải bài này. Bài này anh chưa kịp đọc đề nữa.

[Le.Giang]

em tạo topic mới đi rùi anh mới tính chuyện giải quyết, ở đây giải có 2 bài mà muốn không theo dõi được nè

[BS gau]

em tạo topic mới đi rùi anh mới tính chuyện giải quyết, ở đây giải có 2 bài mà muốn không theo dõi được nè
Mình cứ jải trong đây thỉ cóa jì đâu a legiang. A với chinhlh ráng júp e bài này đi. Vì tưong lai của đàn e thân iu moà.:|

[chinhlh]

Sau khi đọc đề xong anh thấy bài này dễ!!! Em cứ tính f(1), g(1),... rồi sẽ thấy quy luật và sau đó sẽ làm được thôi. Chỉ cần có niềm tin là sẽ làm được bài này. Cố lên.

[Le.Giang]

B
Tìm tất cả các hàm số f\,:\,\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn
f(x^{2009}+y^{2009})=x^{2008}f(x)+y^{2008}f(y)\,,\ ,\forall x,y\in \mathbb{R}.(1)
chọn {y=0}: (1) => f(x^{2009})=x^{2008}.f(x) (2)

thế (2) vào (1) ta được:

f(x^{2009}+y^{2009})=f(x^{2009})+f(y^{2009}) \forall x,y\in \mathbb{R} (3)

đặt a=x^{2009}\, \forall x \in \mathbb{R} => a \in \mathbb{R}

tương tự đặt b=x^{2009}\, \forall x \in \mathbb{R} => b \in \mathbb{R}

thế thì từ (3) => f(x+y)=f(x)+f(y) đến đây giải theo cách cổ điển của thầy Huy đã từng dạy!

ta tìm được f(x)={c}.{x}

[BS gau]

Làm sao tính được f(1) và g(1). Đề bài ra là g(n)=f(f(n)) + 1 moà

[BS gau]

chọn {y=0}: (1) => f(x^{2009})=x^{2008}.f(x) (2)

thế (2) vào (1) ta được:

f(x^{2009}+y^{2009})=f(x^{2009})+f(y^{2009}) \forall x,y\in \mathbb{R} (3)

đặt a=x^{2009} \forall x \in \mathbb{R} => a \in \mathbb{R}

tương tự đặt b=x^{2009} \forall x \in \mathbb{R} => b \in \mathbb{R}

thế thì từ (3) => f(x+y)=f(x)+f(y) đến đây giải theo cách cổ điển của thầy Huy đã từng dạy!

ta tìm được f(x)={c}.{x}
f(x+y)=f(x) + f(y) thì chưa đủ đề suy ra dc f(x) đâu.

[Le.Giang]

Tìm tất cả các hàm số f\,:\,\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn:

x.f(x+y)=(x+y).f(x)\, \forall x,y\in \mathbb{R}

[chinhlh]

Làm sao tính được f(1) và g(1). Đề bài ra là g(n)=f(f(n)) + 1 moà
g(1)=ff(1)+1>=2. Như vậy f(1) là số nhỏ nhất trong đám đó. Tức là 1. Tính tiếp...Đáp án là: f(91)=4370 nếu anh tính không nhầm.

[Le.Giang]

g(1)=ff(1)+1>=2. Như vậy f(1) là số nhỏ nhất trong đám đó. Tức là 1. Tính tiếp...Đáp án là: f(91)=4370 nếu anh tính không nhầm.hểu ý anh nói nhưng vẫn chưa hiểu tại sao f(1)=1!

[chinhlh]

Tìm tất cả các hàm số f\,:\,\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn:

x.f(x+y)=(x+y).f(x)\, \forall x,y\in \mathbb{R}
Cho x=1 là xong ngay.

[chinhlh]

F hợp với G ra toàn bộ số tự nhiên lớn hơn 0. Mà G không chứa 1 vậy thì ...

[Le.Giang]

Cho x=1 là xong ngay.bây giờ nhúng vô một tý!

Tìm tất cả các hàm số f\,:\,\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn:

x.f(x+f(y))=(x+y).f(x)\, \forall x,y\in \mathbb{R}

[Le.Giang]

F hợp với G ra toàn bộ số tự nhiên lớn hơn 0. Mà G không chứa 1 vậy thì ...em hiểu rồi, do chỉ có g(n) bị ràng buộc theo f(n) còn f(n) bị ràng buộc cùng g(n) là phù toàn N

[Le.Giang]

bây giờ anh Chinh mới có 19h30 hả, em đã là 1h30 rùi!

đi ngủ thôi!

[chinhlh]

g(1)=ff(1)+1>=2. Như vậy f(1) là số nhỏ nhất trong đám đó. Tức là 1. Tính tiếp...Đáp án là: f(91)=4370 nếu anh tính không nhầm.
Sau khi kiểm tra lại thì đúng là nhầm! f(91)=147. LG kiểm tra lại xem có đúng k?

[Le.Giang]

vào Thay Ðổi Tùy Chọn (http://lqd-longan.com/forum/profile.php?do=editoptions) để chọn mục Số Bài Trong Mỗi Trang là 40 để dễ theo dõi!

[chinhlh]

Bài sau của LG cũng dễ như bài trước vậy. Lần này nếu f không tầm thường thì f là đơn ánh.

[Le.Giang]

thì tập ra đề là đi từ dễ tới khó mà, thôi em đi ngủ đây 1h30 rùi mà anh Chinh chỉ có 19h30 hà

[Le.Giang]

hẹn ngày mai tiếp tục đàm đạo!! hihi

[BS gau]

Tìm tất cả các hàm thực f xác định trên R thỏa mãn điều kiện:
f(f(x)+y))=2x+f(f(y)-x)\forall\\x,y\in\mathbb{R}

[BS gau]

Cho các a thêm bài này nha.
Cho x, y, z là các số không âm. Giải hệ phương trình sau:
\large\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1 \\ x^{5}y+y^{5}z+z^{5}x=\frac{5^{5}}{6^{6}} \end{array} \right.

[BS gau]

A jải dc chưa zdậy

[Le.Giang]

đang ngâm, mà nè, topic phương trình hàm thì chỉ dành phương trình hàm thôi, pót kiểu này những người khác sẽ khó theo dõi lắm, đồng ý là anh em thường xuyên theo dõi thì sẽ dễ dàng nhưng em làm dzậy thì ít có người khác hứng thú xem lắm!

loại nào thì mở topic riêng loại đó đi, nhắc nhiều lần rùi sao cứ bướng thế, giống anh hồi xưa!

[chinhlh]

Cho các a thêm bài này nha.
Cho x, y, z là các số không âm. Giải hệ phương trình sau:
\large\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1 \\ x^{5}y+y^{5}z+z^{5}x=\frac{5^{5}}{6^{6}} \end{array} \right.
Bài này tương tự như bài toán BDT mình đã post trong mục Thử tài Toán học. Có thể giải bằng BDT Cauchy rất đẹp và rất lắc léo. Đáp án là x=5/6, y=1/6, z=0,....

[Le.Giang]

Tìm tất cả các hàm thực f xác định trên R thỏa mãn điều kiện:
f(f(x)+y))=2x+f(f(y)-x)\forall\\x,y\in\mathbb{R}bài này có một chỗ chưa đúng, chưa hiểu ý!

[chinhlh]

Bài PTH này cũng không khó. Chỉ cần chứng minh f toàn ánh là xong. Đáp án là f(x)=x+a.

[chinhlh]

Bài này đơn giản hơn những bài trước. Lời giải cụ thể để dành cho LG nhé!

[chinhlh]

Cho các a thêm bài này nha.
Cho x, y, z là các số không âm. Giải hệ phương trình sau:
\large\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1 \\ x^{5}y+y^{5}z+z^{5}x=\frac{5^{5}}{6^{6}} \end{array} \right.
BS GAU có thể tham khảo một lời giải ở đây: http://mathforums.hcmup.edu.vn/viewtopic.php?f=29&t=364&st=0&sk=t&sd=a&start=10
Trước tiên kiểm tra xem lời giải có đúng không. Sau đó cố gắng nghĩ xem làm sao biết được dấu bằng xảy ra khi nào. Cuối cùng là quên hết tất cả và tự làm lại. Bài này mỗi năm mình xem lại một lần và vẫn thấy hay. Anh bạn Blackbear lúc đầu không chịu giải bài này vì nhìn hơi ngán. Sau đó mình nói rằng bài này chỉ cần dùng BDT Cauchy và làm vài dòng là ra. Thế là cậu ta đã làm được và nói rằng bài này rất hay. Lời giải là rất tự nhiên.

[HoaCucVang]

Hôm nay nhìn thấy hình thầy mình cảm thấy nhớ.


Nhớ bố Huy của mình quá đi. Ngày nào cũng ôm tấm hình chụp lén ba từ hồi lớp 12, híc híc. Về gặp bố bố cứ kêu tên con thiếu dấu huyền không hà.

[myhanh]

Nhớ bố Huy của mình quá đi. Ngày nào cũng ôm tấm hình chụp lén ba từ hồi lớp 12, híc híc. Về gặp bố bố cứ kêu tên con thiếu dấu huyền không hà.
Ui! Hôm nay mới biết HCV là con của Thầy đó! Nhớ ngày xưa Thầy cứ nói chơi là sẽ gả con gái rượu cho anh! Hehe...

[chinhlh]

Thầy Huy nói thiệt đó anh Myhanh ơi. Anh về nhà nói với chị Myhanh xây thêm một phòng nữa đi.

[HoaCucVang]

Ui! Hôm nay mới biết HCV là con của Thầy đó! Nhớ ngày xưa Thầy cứ nói chơi là sẽ gả con gái rượu cho anh! Hehe...

Hehe, đúng gòi. Còn ba Sơn nữa chứ :P

Thầy Huy nói thiệt đó anh Myhanh ơi. Anh về nhà nói với chị Myhanh xây thêm một phòng nữa đi.

Trùi ui nghe sư phụ khen Chinhlh hiền ai dè cũng dữ thiệt àh nha, để méc sư phụ mới được :P