Đề thi HSG Toán cấp tỉnh vòng 1 2008-2009

[phanthuyen]

Toàn trường có : 9 bạn đội Toán, 12 bạn đội Lí và 9 bạn đội Hóa qua vòng 1. (mấy môn còn lại hổng biết)

[lovelqd]

Toàn trường có : 9 bạn đội Toán, 12 bạn đội Lí và 9 bạn đội Hóa qua vòng 1. (mấy môn còn lại hổng biết)
Đây đâu có đúng là đề thi??!!!:^O

[vodanh]

người cho đề ra dạng mẫu từ trước đến giờ, đề này nếu đạt 10 điểm cũng ko đánh giá được gì cả.

[lovelqd]

người cho đề ra dạng mẫu từ trước đến giờ, đề này nếu đạt 10 điểm cũng ko đánh giá được gì cả.
Đề cho cơ bản ko hà đúng lả sỉ nhục trí tuệ. Nghĩ đi nghĩ lại thì nó giúp loại ra người nghiệp dư chưa bản lĩnh Toán học\:D/

[myhanh]

Đây là thi tuyển và mới là thi vòng 1 như vậy không cần đánh giá gì!
Vòng này chỉ mang tính chất loại bớt đi những học sinh không đánh giá đúng năng lực của mình.
Do vậy một đề càng dễ càng tốt. Dễ mà không làm được thì đi thi chi nữa. Nếu mình cho khó quá đôi khi mình lại loại đi những học sinh giỏi nhưng lại không may mắn trong vòng 1. Như vậy vòng 1 chỉ ở mức độ nhất định đủ để loại đi những học sinh mà BTC cần loại. Cái khó là chỗ đó. Khi ra đề thi ở bất kỳ kỳ thi nào người ta cũng đặt ra mục tiêu. Ví dụ kỳ thi cuối học kỳ thì khi ra phải biết có bao nhiêu % 10 điểm, bao nhiêu % 9 điểm đó mới là người ra đề hay. Đề phục vụ tốt mục tiêu đề ra là một đề có chất lượng.
Còn vòng 2 nữa mà!

[phanthuyen]

Đây đâu có đúng là đề thi??!!!:^O

hizhiz, dạ đúng òy, bộp chộp đọc lộn cái đề HSG cấp trường thành cấp tỉnh VÒng 1, sorry sorry, để chỉnh lại :(

[phanthuyen]

cái này chính xác là đề thi (đọc kĩ lắm òy)

[chinhlh]

Đề thi như thế là hợp lý rồi. Bài 5 sử dụng bất đẳng thức Cauchy theo một kỹ thuật hết sức tự nhiên. Bài 1, 2, 4 rất cơ bản. Bài 3 rất hay nhưng hình như Phanthuyen post đề sai rồi, hoặc là người ra đề đã có sai sót. Bạn có thể kiểm tra kỹ lại không?

[Gem]

mời bạn Chinh giải thử bài Bất Đẳng thức theo pp Côsi, Gem thấy bài này hay hay đấy.

[chinhlh]

Chị Gem nghi ngờ điều gì chăng? Trong bài 5 Phanthuyen đã đánh máy nhầm chữ c và b. Nếu để như vậy thì giải không được ( cho a=b=1,c=0,5), cần phải sửa lại như sau:
Cho a,b,c là ba số thực dương (thực ra chỉ cần không âm). Chứng minh rằng a^5+b^5+c^5 +12 \geq 5(a+b+c).
Áp dụng BDT Cauchy cho 5 số không âm ta được
a^5 +1+1+1+1\geq 5a
b^5 +1+1+1+1\geq 5b
c^5 +1+1+1+1\geq 5c.

[Le.Giang]

có người gọi Gem là chị, ac ac

[chinhlh]

Dựa vào thị giác thôi mà. Chứ có biết ai đâu.

[Gem]

lời giải dùng Côsi ( ở nước ngoài Cauchy được hiểu là BĐT khác ) rất gọn.

Ví dụ Gem ko dùng 1 kỷ thuật tự nhiên nào của Cosi mà dùng theo 1 hướng khác , xin mới bạn Chinh ra tay.

[HoaCucVang]

lời giải dùng Côsi ( ở nước ngoài Cauchy được hiểu là BĐT khác ) rất gọn.

Ví dụ Gem ko dùng 1 kỷ thuật tự nhiên nào của Cosi mà dùng theo 1 hướng khác , xin mới bạn Chinh ra tay.


Hướng nào? cụ thể đi Gem, mình thì mù toán rồi. Bạn Chinh ra tay đi, tin tưởng mà. Hên là mình ra trường sớm và Chinh đi học chứ không là trong lớp kêu thầy chắc mắc cỡ lắm híc híc...

[chinhlh]

Một cách giải khác:
Vì a,b,c là những số không âm nên
a^5-5a+4=(a-1)^2(a^3+2a^2+3a+4)\geq 0
b^5-5b+4=(b-1)^2(b^3+2b^2+3b+4)\geq 0
c^5-5c+4=(c-1)^2(c^3+2c^2+3c+4)\geq 0.

[Gem]

lời giải quá đẹp, tuy nhiên không phải hs nào cũng phân tích được từ đa thức 1 biến bậc 5 thành tích 2 đa thức như vậy, nhất là áp lực thời gian

Nhưng sao Gem thấy cách giải 2 giống rút ra trường hợp tổng quát từ cách giải 1 quá vậy :

Cho a là số thực dương, n nguyên dương ta có :

0 \leq a^n-na+n-1

[hanoi-hue-saigon]

Còn có một người say mê toán học nữa chưa lên tiếng! :)
H2S đang chờ đợi lời giải của nhân vật này!

[chinhlh]

Cả hai cách giải trên xuất phát từ nhận xét rằng a,b,c không liên quan gì đến nhau. Do đó việc chứng minh được BDT cho cả a,b,c tương đương với việc chứng minh một BDT riêng lẻ. Một cách giải khác mà hoc sinh lớp 12 hay dùng là khảo sát hàm số và đó cũng là một kỹ thuật đánh giá từng biến. Tuy nhiên bài này cũng có thể giải một cách dài dòng hơn bằng một kiểu khác đó là áp dụng BDT Zensen cùng với Cauchy mà không tách riêng từng biến.

[chinhlh]

Còn có một người say mê toán học nữa chưa lên tiếng! :)
H2S đang chờ đợi lời giải của nhân vật này!

Người đó không ai khác chính là anh Myhanh. Có phải vậy không?

[lovelqd]

Còn có một người say mê toán học nữa chưa lên tiếng! :)
H2S đang chờ đợi lời giải của nhân vật này!
H2S đừng đưa mình lên mây ngen!:redface: Mấy bài này các bạn đã giải bằng các cách hay rồi! Bài toán Gem đưa ra là tổng quát nhất và đc giải quyết bằng kshs hoặc BDT Cauchy cho n số hoặc đó cũng đúng ngay cho bdt Bernoulli.:-?

[hanoi-hue-saigon]

Đúng là anh Myhanh có say mê toán nhưng yêu thích nhất thì lại không phải là toán mà có lẽ là Tin học. H2S đoán thế!
H2S đang chờ đợi lời giải toán của anh C! :)

[phanthuyen]

Đề thi như thế là hợp lý rồi. Bài 5 sử dụng bất đẳng thức Cauchy theo một kỹ thuật hết sức tự nhiên. Bài 1, 2, 4 rất cơ bản. Bài 3 rất hay nhưng hình như Phanthuyen post đề sai rồi, hoặc là người ra đề đã có sai sót. Bạn có thể kiểm tra kỹ lại không?

dạ bài 3 hổng có sai đâu ạ! còn bài 5 thì đúng là nhầm. Em đã chỉnh lại rồi, là b + c

[Gem]

hihi, bài bất đẳng thức này bị khui ra mấy chỗ hay hết rồi chị H2S ơi, biết ngay là chị nói đến anh C liền mà, anh C lúc này quá nổi tiếng.

Hồi đó Gem rất mê bất đẳng thức, bỏ lâu quá rồi đâm ra nhớ. Chắc phải ôn lại cùng đàm đạo với bạn Chinh quá.

[hanoi-hue-saigon]

Vậy mà khi đọc bài làm của các em xong chị vẫn hy vọng được thấy cách giải toán của anh ấy! :(

[chinhlh]

Anh C học khóa mấy vậy? Chắc là cựu lâu năm rồi nên mình hổng biết.
Bài hình học không gian có vấn đề ở chỗ là không tồn tại một hình chóp như thế.
Phanthuyen có làm được bài này không?

[myhanh]

Chị Gem nghi ngờ điều gì chăng? Trong bài 5 Phanthuyen đã đánh máy nhầm chữ c và b. Nếu để như vậy thì giải không được ( cho a=b=1,c=0,5), cần phải sửa lại như sau:
Cho a,b,c là ba số thực dương (thực ra chỉ cần không âm). Chứng minh rằng a^5+b^5+c^5 +12 \geq 5(a+b+c).
Áp dụng BDT Cauchy cho 5 số không âm ta được
a^5 +1+1+1+1\geq 5a
b^5 +1+1+1+1\geq 5b
c^5 +1+1+1+1\geq 5c.
Mình thích dùng Bernoulli: (1+x)^r\geq1+rx.
Trong đó r nguyên và r\geq0,x>-1.
Do a,b,c là ba số thực dương nên a-1, b-1,c-1 >-1.
Vậy ta có:
(1+(a-1))^5 \geq 1+5(a-1)=5a-4
(1+(b-1))^5 \geq 1+5(b-1)=5b-4
(1+(c-1))^5 \geq 1+5(c-1)=5c-4
Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế ta có:
a^5+b^5+c^5 +12 \geq 5(a+b+c).
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
Cách dùng Cauchy là cách hay nhưng hơi mẹo không mang tính hệ thống nên bị áp lực thời gian khó nghĩ ra.
Khi so sánh a^n với na nên nghĩ ngay đến Bernoulli.

[Gem]

nhưng Gem nghe nói trong chương trình PTTH , ngoài Côsi và Bunha ra thì tất cả các kết quả bất đẳng thức khác được xem là bổ đề , mà bổ đề là phải chứng minh nữa.

Gem nghĩ người ra đề năm nay cho câu BĐT hay hơn các câu còn lại:

Không biết bài này áp dụng các PP trên được không ?

cho a,b,c là các số không âm CMR:

256(c^3+a^3)(b^3+a^3)(c^3+b^3) \leq (a+b+c)^9

[lovelqd]

Mình thích dùng Bernoulli: (1+x)^r\geq1+rx.
Trong đó r nguyên và r\geq0,x>-1.
Do a,b,c là ba số thực dương nên a-1, b-1,c-1 >-1.
Vậy ta có:
(1+(a-1))^5 \geq 1+5(a-1)=5a-4
(1+(b-1))^5 \geq 1+5(b-1)=5b-4
(1+(c-1))^5 \geq 1+5(c-1)=5c-4
Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế ta có:
a^5+b^5+c^5 +12 \geq 5(a+b+c).
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
Cách dùng Cauchy là cách hay nhưng hơi mẹo không mang tính hệ thống nên bị áp lực thời gian khó nghĩ ra.
Khi so sánh a^n với na nên nghĩ ngay đến Bernoulli.
Nhưng a nghĩ Bernoulli ít đc sử dụng. A nhớ nó đc sử dụng mạnh khi có các kết quả trung gian khác thú vị từ nó!\:D/

[lovelqd]

nhưng Gem nghe nói trong chương trình PTTH , ngoài Côsi và Bunha ra thì tất cả các kết quả bất đẳng thức khác được xem là bổ đề , mà bổ đề là phải chứng minh nữa.

Gem nghĩ người ra đề năm nay cho câu BĐT hay hơn các câu còn lại:

Không biết bài này áp dụng các PP trên được không ?

cho a,b,c là các số không âm CMR:

256(c^3+a^3)(b^3+a^3)(c^3+b^3) \leq (a+b+c)^9
E đưa bài này hơi ác ngen! Nguồn bài này ở đâu thế!:-?

[chinhlh]

Bước 1: Chứng minh (a+b)^9\geq 256(a^3+b^3)a^3b^3.

Ta làm như sau
(a+b)^{12}=[(a^3+b^3)+ab(a+b)+ab(a+b)+ab(a+b)]^4

\geq 4^4(a^3+b^3)a^3b^3(a+b)^3

Bước 2: Giả sử a\geq b\geq c. Áp dụng kết quả trên ta được

(a+b+c)^9\geq 256(a^3+(b+c)^3)a^3(b+c)^3=(a^6+b^3a^3+3b^2ca^3+3b c^2a^3+c^3a^3)(b+c)^3

\geq 256(a^6+a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3)(b+c)^3

\geq 256(a^6+a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3)(b^3+c^3)

= 256(a^3+b^3)(b^3+c^3)(a^3+c^3).

[vodanh]

bước 2 dòng 1 thiếu số 256, điều kiện xảy ra dấu "=".

[chinhlh]

(a+b+c)^9\geq 256(a^3+(b+c)^3)a^3(b+c)^3
=256(a^6+b^3a^3+3b^2ca^3+3bc^2a^3+c^3a^3)(b+c)^3


Là chỗ này. Cảm ơn nhiều. Dấu bằng xảy ra khi một trong 3 số bằng 0 và hai số còn lại bằng nhau.

[phanthuyen]

Anh C học khóa mấy vậy? Chắc là cựu lâu năm rồi nên mình hổng biết.
Bài hình học không gian có vấn đề ở chỗ là không tồn tại một hình chóp như thế.
Phanthuyen có làm được bài này không?

^^, dạ hok, em dở toán lắm! Bữa thi cũng ít bạn làm được bài này, đa phần là bỏ bài này

[Swan]

Trời ơi là trời, nhìn vô nguyên cái mặt hiện lên một chữ NGU to đùng luôn , swan ko bik jì hết huhuhuhu

[khanhan2006_2009]

Anh C học khóa mấy vậy? Chắc là cựu lâu năm rồi nên mình hổng biết.
Bài hình học không gian có vấn đề ở chỗ là không tồn tại một hình chóp như thế.
Phanthuyen có làm được bài này không?
Bài 3 là một bài sai,nên được hưởng trọn số điểm.:|

[Gem]

Bài trên không phải dễ, lời giản của Chinh hoàn toàn hợp lý, cái khó là phải diễn ra từ (a+b)^ 12

Gem có vài bài khá hay nhưng ko biết bạn Chinh có hứng thú giải nữa không .

[chinhlh]

Em vẫn còn hứng thú mà.

[Gem]

hihi, okie, 1 bài đơn giản thôi :

Cho a,b,c là các số không âm thỏa : ab+bc+ca=1. CMR :

\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} + 2 \geq \sqrt{3} + 2(a^2 + b^2 + c^2 )

[myhanh]

Phương pháp của chinhlh gọi là phương pháp dồn biến.
Khi một bất đẳng thức vai trò các biến như nhau mà phát hiện ra dấu bằng không xảy ra khi các biến bằng nhau thì sử dụng phương pháp dồn biến.
Phương pháp này giả sử một thứ tự các biến rồi cố gắng dồn các biến lớn về biến bé (chứng minh >=) hoặc ngược lại (chứng minh <=).
Chinhlh chuẩn bị là tiến sỹ toán học ở trời tây rùi thì mấy bài cỏn con này làm sao làm nhục chí được.

[MarsNIIT]

Có phải bạn Chinh đang ở Pháp không, nhìn IP biết là ở Pháp, đang làm nghiên cứu sinh hả em.

Nội lực của anh myhanh cũng chẳng kém đâu, nói chung mấy bài này sẽ thu hút hs ở trường tham gia xem và học tập.

[chinhlh]

Ta chứng minh BDT sau đây và từ đó suy ra BDT ban đầu :
\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+ 2 \geq a+b+c+2(a^2+b^2+c^2).
Điều này tương đương với
(\frac{1}{b}-1)(a-b)^2+(\frac{1}{c}-1)(b-c)^2+(\frac{1}{a}-1)(c-a)^2 \geq 0.
Nếu cả ba số a,b,c đều không lớn hơn 1 thì ok.
Bây giờ giả sử a>1. Ta sử dụng BDT sau đây :
\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq \frac{(a+b)^2}{x+y} với x,y là các số dương.
Ta có
(\frac{1}{b}-1)(a-b)^2+(\frac{1}{c}-1)(b-c)^2 \geq \frac{(a-b)^2}{\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}}.
Như vậy ta cần chứng minh \frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}\leq \frac{a}{a-1}.
Sau khi rút gọn ta được a+b+c+3abc\geq 2 .
Rào cản cuối cùng được giải quyết bởi BDT Cauchy ở dạng sơ cấp nhất. Ta làm như sau :
a+b+c+3abc=a+b+c+3a(1-ab-ac)=4a+(b+c)(1-3a^2)\geq 4a+\frac{1-3a^2}{a}
=a+\frac{1}{a}>2.

[chinhlh]

Có phải bạn Chinh đang ở Pháp không, nhìn IP biết là ở Pháp, đang làm nghiên cứu sinh hả em.

Nội lực của anh myhanh cũng chẳng kém đâu, nói chung mấy bài này sẽ thu hút hs ở trường tham gia xem và học tập.

Dạ không, em đang học Master 2 ở Pháp. Anh Myhanh thì siêu rồi. Chẳng những nội công thâm hậu mà còn có hiểu biết rông nữa.

[myhanh]

Dạ không, em đang học Master 2 ở Pháp. .
Học PhD toán luôn nhé! Hôm qua đọc bài báo nói mỗi năm VN cần 50 PhD Toán vậy mà nhân tài như lá mùa thu (mà mùa thu nhiều bão như năm ni mới ác). Chúc em học giỏi nha.
Anh Myhanh thì siêu rồi. Chẳng những nội công thâm hậu mà còn có hiểu biết rông nữa.
Đừng khen anh như thế vì anh sẽ nổ cái mũi mất, thật ra anh chỉ nhớ dai thôi chứ không giỏi đâu!

[lovelqd]

Học PhD toán luôn nhé! Hôm qua đọc bài báo nói mỗi năm VN cần 50 PhD Toán vậy mà nhân tài như lá mùa thu (mà mùa thu nhiều bão như năm ni mới ác). Chúc em học giỏi nha.

Đừng khen anh như thế vì anh sẽ nổ cái mũi mất, thật ra anh chỉ nhớ dai thôi chứ không giỏi đâu!
Học tiến sĩ ráng cố gắng xuất sắc luôn nhé! Chứ làm toán mà làm thường thường rồi để kiếm ăn thì chẳng có nghĩa lí gì! Nếu đc thì ở bên đó luôn đừng về VN đụng ch cơm áo gạo tiền thì gần như ko ra cái gì mới cả! Học Toán chỉ có sống với T mới mang hơi thở của T và ý tưởng Toán!:">