Gem
21-07-2008, 10:18 PM
Ngày 1
Bài 1
Cho http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20H là trực tâm của tam giác nhọn http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20ABC. Đường tròn http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20%5CGamma_A có tâm là trung điểm cạnh http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20BC và đi qua http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20H, cắt đường thẳng http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20BC tại http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20A_1, http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20A_2. Các điểm http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20B_1, http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20B_2, http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20C_1, http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20C_2 xác định tương tự. Chứng minh rằng 6 điểm http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20A_1, http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20A_2, http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20B_1, http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20B_2, http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20C_1, http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20C_2 cùng thuộc 1 đường tròn.
Bài 2
a.Cho http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20x,y,z là các số thực khác 1 thỏa mãn http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20xyz=1
Cmr :
http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D %7B%5Cleft%28x%20-%201%5Cright%29%5E%7B2%7D%7D%20+%20%5Cfrac%20%7By% 5E%7B2%7D%7D%7B%5Cleft%28y%20-%201%5Cright%29%5E%7B2%7D%7D%20+%20%5Cfrac%20%7Bz% 5E%7B2%7D%7D%7B%5Cleft%28z%20-%201%5Cright%29%5E%7B2%7D%7D%20%5Cgeq 1
b.Chứng minh đẳng thức trên xảy ra với vô hạn bộ 3 số hửu tỷ (x,y,z)
Bài 3
Chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20n%5E%7B2%7D+1 có 1 ước nguyên tố lớn hơn http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%202n+%20%5Csqrt%7B2n%7D.
Ngày 2
Bài 4: Tìm tất cả các hàm http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20f:%20%280,%20+%5Cinfty%20%2 9%20%5Cto%20%280,%20+%5Cinfty%29 sao cho
http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20%20%5Cfrac%7B%28f%28w%29%29 %5E%7B2%7D+%28f%28x%29%29%5E%7B2%7D%7D%7Bf%28y%5E% 7B2%7D%29+f%28z%5E%7B2%7D%29%7D%20=%20%20%5Cfrac%7 Bw%5E%7B2%7D+x%5E%7B2%7D%7D%7By%5E%7B2%7D+z%5E%7B2 %7D%7D
với mọi số thực dương http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20w,x,y,z mà http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20wx=yz.
Bài 5: Giả sử http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20n và http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20k là các số nguyên dương với http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20k%20%5Cgeq%20n và http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20k-n là số chẵn. Cho http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%202n bóng đèn được đánh số từ http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%201 đến http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%202n; mỗi bóng có thể sáng hoặc tắt. Tại thời điểm ban đầu, mọi bóng đều tắt. Xét các dãy gồm các bước: tại mỗi bước, công tắc của một trong các bóng đèn được bật (từ sáng chuyển thành tắt hoặc từ tắt chuyển thành sáng).
Giả sử http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20N là số các dãy mà mỗi dãy gồm http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20k bước và kết thúc ở trạng thái: các bóng đèn từ http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%201 đến http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20n sáng, các bóng từ http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20n+1 đến http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%202n tắt
Giả sử http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20M là số các dãy mà mỗi dãy gồm http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20k bước và cũng kết thúc ở trạng thái: các bóng đèn từ http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%201 đến http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20n sáng, các bóng từ http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20n+1 đến http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%202n tắt, nhưng trong quá trình đó không một công tắc nào của các bóng từ http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20n+1 đến http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%202n được bật.
Tính tỉ số http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20%5Cfrac%7BN%7D%7BM%7D.
Bài 6: Giả sử http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20ABCD là một tứ giác lồi với http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20%7CBA%7C%20%5Cneq%20%7CBC%7 C. Kí hiệu các đường tròn nội tiếp của các tam giác http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20ABC và http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20ADC tương ứng qua http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20w_%7B1%7D và http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20w_%7B2%7D. Giả sử tồn tại đường tròn w tiếp xúc với nửa đường thằng http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20BA kéo dài tại một điểm đi sau http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20A và tiếp xúc với nửa đường thẳng http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20BC kéo dài tại một điểm đi sau http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20C, đồng thời đường tròn đó cũng tiếp xúc với các đường thẳng http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20AD và http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20CD. Chứng minh rằng các tiếp tuyến chung ngoài của http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20w_%7B1%7D và http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20w_%7B2%7D giao nhau tại một điểm nằm trên đường tròn http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20w
Bài 1
Cho http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20H là trực tâm của tam giác nhọn http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20ABC. Đường tròn http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20%5CGamma_A có tâm là trung điểm cạnh http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20BC và đi qua http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20H, cắt đường thẳng http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20BC tại http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20A_1, http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20A_2. Các điểm http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20B_1, http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20B_2, http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20C_1, http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20C_2 xác định tương tự. Chứng minh rằng 6 điểm http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20A_1, http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20A_2, http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20B_1, http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20B_2, http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20C_1, http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20C_2 cùng thuộc 1 đường tròn.
Bài 2
a.Cho http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20x,y,z là các số thực khác 1 thỏa mãn http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20xyz=1
Cmr :
http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D %7B%5Cleft%28x%20-%201%5Cright%29%5E%7B2%7D%7D%20+%20%5Cfrac%20%7By% 5E%7B2%7D%7D%7B%5Cleft%28y%20-%201%5Cright%29%5E%7B2%7D%7D%20+%20%5Cfrac%20%7Bz% 5E%7B2%7D%7D%7B%5Cleft%28z%20-%201%5Cright%29%5E%7B2%7D%7D%20%5Cgeq 1
b.Chứng minh đẳng thức trên xảy ra với vô hạn bộ 3 số hửu tỷ (x,y,z)
Bài 3
Chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20n%5E%7B2%7D+1 có 1 ước nguyên tố lớn hơn http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%202n+%20%5Csqrt%7B2n%7D.
Ngày 2
Bài 4: Tìm tất cả các hàm http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20f:%20%280,%20+%5Cinfty%20%2 9%20%5Cto%20%280,%20+%5Cinfty%29 sao cho
http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20%20%5Cfrac%7B%28f%28w%29%29 %5E%7B2%7D+%28f%28x%29%29%5E%7B2%7D%7D%7Bf%28y%5E% 7B2%7D%29+f%28z%5E%7B2%7D%29%7D%20=%20%20%5Cfrac%7 Bw%5E%7B2%7D+x%5E%7B2%7D%7D%7By%5E%7B2%7D+z%5E%7B2 %7D%7D
với mọi số thực dương http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20w,x,y,z mà http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20wx=yz.
Bài 5: Giả sử http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20n và http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20k là các số nguyên dương với http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20k%20%5Cgeq%20n và http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20k-n là số chẵn. Cho http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%202n bóng đèn được đánh số từ http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%201 đến http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%202n; mỗi bóng có thể sáng hoặc tắt. Tại thời điểm ban đầu, mọi bóng đều tắt. Xét các dãy gồm các bước: tại mỗi bước, công tắc của một trong các bóng đèn được bật (từ sáng chuyển thành tắt hoặc từ tắt chuyển thành sáng).
Giả sử http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20N là số các dãy mà mỗi dãy gồm http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20k bước và kết thúc ở trạng thái: các bóng đèn từ http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%201 đến http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20n sáng, các bóng từ http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20n+1 đến http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%202n tắt
Giả sử http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20M là số các dãy mà mỗi dãy gồm http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20k bước và cũng kết thúc ở trạng thái: các bóng đèn từ http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%201 đến http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20n sáng, các bóng từ http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20n+1 đến http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%202n tắt, nhưng trong quá trình đó không một công tắc nào của các bóng từ http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20n+1 đến http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%202n được bật.
Tính tỉ số http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20%5Cfrac%7BN%7D%7BM%7D.
Bài 6: Giả sử http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20ABCD là một tứ giác lồi với http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20%7CBA%7C%20%5Cneq%20%7CBC%7 C. Kí hiệu các đường tròn nội tiếp của các tam giác http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20ABC và http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20ADC tương ứng qua http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20w_%7B1%7D và http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20w_%7B2%7D. Giả sử tồn tại đường tròn w tiếp xúc với nửa đường thằng http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20BA kéo dài tại một điểm đi sau http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20A và tiếp xúc với nửa đường thẳng http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20BC kéo dài tại một điểm đi sau http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20C, đồng thời đường tròn đó cũng tiếp xúc với các đường thẳng http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20AD và http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20CD. Chứng minh rằng các tiếp tuyến chung ngoài của http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20w_%7B1%7D và http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20w_%7B2%7D giao nhau tại một điểm nằm trên đường tròn http://www.diendantoanhoc.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Clarge%20w