Nguyên tắc Dirichlet

[myhanh]

Chủ Nhật vừa qua em myhanh có hỏi myhanh một trong đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm vừa rồi có liên quan đến nguyên tắc Dirichlet nên sẵn đây myhanh chia sẻ lại những điều liên quan đến nguyên tắc này.
1.Nguyên tắc:
Đặt n+1 vật vào trong n ngăn kéo thì tồn tại ít nhất một ngăn kéo có ít nhất 2 vật
2. Các hệ quả:
2.a Hệ quả 1:
Đặt n*k+1 vật vào trong n ngăn kéo thì tồn tại ít nhất một ngăn kéo có ít nhất k+1 vật.
2.b Hệ quả 2:
Đặt các đoạn thẳng ai (i=1,...,n) trên một đoạn thẳng AB có độ dài a. Gọi L=tổng độ dài các đoạn ai. Nếu L >= k*a+1 thì tồn tại điểm M trên AB sao cho M được phủ bởi ít nhất k+1 đoạn trong các đoạn ai trên.
2.c Hệ quả 3:
Cho hình F có diện tích S. Trên hình F bố trí các hình hữu hạn các hình Fi có diện tích Si. Gọi SS= tổng các Si. Nếu SS >= k*S+1 thì tồn tại điểm M thuộc F sao cho M được phủ bởi ít nhất k+1 hình Fi ở trên.
Mệnh đề phản đảo ở hệ quả này thường được sử dụng:
Tồn tại M thuộc F sao cho không có hình Fi nào ở trên phủ M nếu SS < S.
Sau đây là một số bài tập áp dụng không biết có cao thủ nào ra tay không?
1. Cho 2004 số nguyên dương a1, a2, ... , a2004 có tổng bằng 4008. Không có số nào lớn hơn 2004. Chứng minh rằng trong 2004 số trên có thể tìm được một bộ số gồm một, hai hay nhiều hơn mà tổng của các số trong bộ này bằng 2004.
2. Cho ngũ giác lồi trong mặt phẳng toạ độ vuông góc. Các đỉnh của ngũ giác này là các đỉnh nguyên ( hoành độ và tung độ nguyên). Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm nguyên trên cạnh hay bên trong ngũ giác ngày.

[peanux]

Peanux xin tham gia giải bài số 1 như sau:
Nếu a1, a2, ..., a2004 không có hai số nào khác nhau thì từ:
a1+a2+...+a2004=4008 ta có:
a1=a2=a3=...=a2004=2. Từ đây ta dễ dàng suy ra điều phải chứng minh.
Nếu a1, a2, ..., a2004 tồn tại ít nhất có hai số khác nhau. Do vai trò như nhau của các số này nên ta giả sử hai số khác nhau này là a1 < a2.
Ta xét các tổng sau:
S1=a1
S2=a2
S3=a1+a2
S4=a1+a2+a3
.......................
S2004=a1+a2+...+a2003
Ta có Si>Sj nếu 1<=j<i<=2004 và Sk < 4008 k=1,..,2004 (1)
Giả sử trong các số S1, S2, ..., S2004 có số chia hết cho 2004 giả sử là Sn. Kết hợp (1) ta có Sn=2004 đây là điều phải chứng minh.
Trong trường hợp các số S1, S2, ..., S2004 không có số nào chia hết cho 2004. Vì có 2004 số mà chỉ có 2003 số dư nên phải có hai số cùng số dư ( theo nguyên tắc Dirichlet). Giả sử hai số này là Si và Sj (i>j) thì ta có Si-Sj chia hết cho 2004, Si-Sj < 4008 do đó Si-Sj =2004. Xem lại một chút ta thấy Si-Sj cũng là tổng của một số số trong a1,..., a2004 vì Si không thể là S2 và Sj không thể là S1 do S2-S1=a2-a1 < 2004.

[myhanh]

Bài giải của Peanux thật tuyệt vời! Bài thứ hai có cao thủ nào ra tay không?

[myhanh]

Lâu quá các cao thủ ẩn danh hết nên myhanh cũng đành ra tay thôi
Tọa độ mỗi đỉnh của ngũ giác có dạng (i,j) i,j là các số nguyên. Cặp (i,j) thuộc vào 1 trong 4 trường hợp (chẵn, chẵn), (chẵn,lẻ), (lẻ, chẵn), (lẻ, lẻ). Vì có 5 đỉnh mà có 4 trường hợp nên theo nguyên tắc Dirichlet thì có ít nhất hai đỉnh có cùng tính chất. Xét trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh này. Trung điểm này là một điểm nguyên và điểm này nằm trên cạnh của ngũ giác lồi hoặc bên trong ngũ giác lồi. Như vậy ta có điều phải chứng minh

[phanthuyen]

Lâu quá các cao thủ ẩn danh hết nên myhanh cũng đành ra tay thôi
Tọa độ mỗi đỉnh của ngũ giác có dạng (i,j) i,j là các số nguyên. Cặp (i,j) thuộc vào 1 trong 4 trường hợp (chẵn, chẵn), (chẵn,lẻ), (lẻ, chẵn), (lẻ, lẻ). Vì có 5 đỉnh mà có 4 trường hợp nên theo nguyên tắc Dirichlet thì có ít nhất hai đỉnh có cùng tính chất. Xét trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh này. Trung điểm này là một điểm nguyên và điểm này nằm trên cạnh của ngũ giác lồi hoặc bên trong ngũ giác lồi. Như vậy ta có điều phải chứng minh

trùi ui, bùn anh myhanh ghê chưa, em nhỏ đang suy nghĩ ngon lành. Mà thôi kệ, dù sao cũng nhức óc mà chưa nghĩ ra vấn đề :P. Bài khác đi anh ^^

[myhanh]

Uh còn nhiều lắm nhưng anh không nhớ để chủ nhật này về quê chép ké của thằng em.

[chinhlh]

Anh Myhanh giai bai nay quá đẹp, ngắn gọn, dễ hiểu. Thật khâm phục. Dựa vào cách giải này chúng ta chứng minh được một kết quả mạnh hơn. Tồn tại một điểm nguyên nằm bên trong ngũ giác. Từ đó đi đến một bài toán tổng quát khác. Cảm ơn anh Myhanh đã post lời giải rất hay này.

[myhanh]

Em thử post bài giải của em lên thử xem! Cho anh tham khảo học hỏi với

[chinhlh]

Nếu M và N có cùng tính chất, ta viết M~N.

Giả sử ABCDE là ngũ giác lồi đã cho và A~B. Nếu trong ba điểm C,D,E có một điểm cùng tính chất với A thì ta tìm được một đường chéo với hai đầu mút có cùng tính chất và trung điểm của đường chéo này là một điểm nguyên nằm bên trong ABCDE. Bây giờ xét trường hợp C,D,E khác tính chất với A. Gọi F là điểm nguyên trên cạnh AB và gần A nhất. Như vậy, F không cùng tính chất với A. Trong năm điểm AFCDE có ít nhất hai điểm có cùng tính chất, đó là C~D hoặc D~E ( Nếu điểm F tham gia vào việc này thì ta có ngay kết luận).
TH1. C~D. Gọi G là điểm nguyên trên cạnh CD và khác tính chất với C. Trong 5 điểm AFCGE có ít nhất hai điểm cùng tính chất, nếu đó không phải là hai đầu mút của đường chéo CE thì một trong hai điểm F, G phải tham gia vào và ta có kết luận.
TH2. D~E. Gọi H là điểm nguyên trên cạnh DE và khác tính chất với E. Phần còn lại được lập luận tương tự như trên.

Bài toán tổng quát: Chứng minh rằng bên trong một đa giác lồi n đỉnh nguyên, tồn tại ít nhất [(n-3)/2] điểm nguyên. Trong đó [x] là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x.

[myhanh]

Cách suy nghĩ của chinhlh rất hay và táo bạo cần phát huy nhưng chứng minh của em có điểm sơ hở:

Nếu trong ba điểm C,D,E có một điểm cùng tính chất với A thì ta tìm được một đường chéo với hai đầu mút có cùng tính chất và trung điểm của đường chéo này là một điểm nguyên nằm bên trong ABCDE.

AE là cạnh chứ không là đường chéo nha!

[chinhlh]

Thưa anh, khi đó BE là đường chéo. Hiện giờ em chưa vẽ được một 7-giác lồi nguyên nào mà có đúng hai điểm nguyên nằm bên trong. Anh có thể giúp em không? .

[myhanh]

Cố gắng lên thui chứ anh bi giờ không có khả năng ngồi vẽ được nữa rồi!
Chúc chinhlh may mắn nha!

[myhanh]

Một bài mới đây xin mời các bạn yêu toán học nhảy vào nha:
Trong một hình vuông cạnh 1 đv, người ta đặt 51 điểm. Chứng minh rằng luôn luôn tìm được ba điểm nằm trong một đường tròn có bán kính không lớn hơn 1/7 đv.

[chinhlh]

Chia hình vuông ban đầu thành 25 hình vuông nhỏ bằng cách chia mỗi cạnh thành 5 đoạn bằng nhau. Tồn tại ít nhất môt hình vuông chứa 3 điểm. Đường tròn ngoại tiếp hình vuông ấy có bán kính 1/5căn 2 nhỏ hơn 1/7.

[myhanh]

Bài chinhlh giải rất hay nhưng thường chinhlh đi rất tắt và vội gây khó hiểu cho người đọc đây có thể bất lợi khi đi thi thật sự. Cố gắng khắc phục cái vụ này thì sẽ rất tuyệt vời:
51 = 2. 25 +1. Có 51 con thỏ nhốt trong 25 cái chuồng vì vậy theo hệ quả số 1 có ít nhất là 2+1=3 con thỏ trong 1 chuồng. Tức là tồn tại ít nhất một hình vuông nhỏ mà hình vuông này chứa ít nhất 3 điểm. Xét hình tròn ngoại tiếp hình vuông này. có bán kính là (1/5) sqrt(2)/2 < 1/7. Vậy ta có điều phải chứng minh.

[DeMen]

Em thấy Chinh giải vậy là quá rõ và quá dễ hiểu rồi mà ... Nhìn mọi người làm toán thấy thích mê luôn, mặc dù mình chẳng biết làm :(

[chinhlh]

Em xin cám ơn và tiếp thu lời chỉ bảo của anh. Thật đáng tiếc là ngày xưa em có lẽ đã bị trừ những điểm không đáng có. Bây giờ quá tuổi để đi thi mất rồi.

[myhanh]

Bài tiếp theo đây:
Cho một đường tròn đường kính 3 đv. Trong đường tròn này có chứa một số đường tròn nhỏ mà tổng đường kính của các đường tròn nhỏ này bằng 25 đv. Chứng minh rằng với mọi đường thẳng d cho trước luôn luôn tìm được một một đường thẳng d' song song và cắt ít nhất 9 đường tròn nhỏ.

[chinhlh]

Đề thi học sinh giỏi cấp huyện của anh Myhanh còn khó hơn cả đề thi HSG cấp tỉnh nữa. Sao kỳ lạ vậy nhỉ.

[chinhlh]

Để giải bài toán trên, em xin đưa ra một bổ đề sau.
Trong mặt phẳng cho một dãy các đường thẳng song song, trong đó hai đường kề nhau thì cách nhau một khoảng r>0. Khi đó, mỗi đường tròn đường kính R sẽ cắt ít nhất [R/r]-1 đường thẳng trên và nếu nếu có một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn này thì con số sẽ là [R/r].

[chinhlh]

Giả sử bên trong đường tròn đường kính 3 dv có n đường tròn nhỏ (C_1), (C_2),...(C_n) đường kính r_1, r_2,...,r_n. Tồn tại số m đủ lớn sao cho [mr_1] + [mr_2] +...+[mr_n] > 24m+n ( Dùng tính chất giới hạn của dãy số). Xét một dãy các đường thẳng song song với d, hai đường liên tiếp cách nhau một khoảng \frac{1}{m}, và trong số đó có hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn bự. Gọi X là tập hợp gồm (3m-1) đường thẳng nằm trong. Mỗi đường tròn nhỏ (C_i) cắt ít nhất [mr_i]-1 đường thẳng trong X. Từ đó suy ra rằng có ít nhất một đường thẳng cắt không ít hơn \frac{[mr_1] + [mr_2] +...+[mr_n] -n}{3m-1} đường tròn nhỏ và con số này lớn hơn 8.

[chinhlh]

\lim_{m \rightarrow \infty}{\frac{[m.x]}{m}} = x.

\lim_{m \rightarrow \infty}{\frac{[m.r_i]}{m+n}} = r_i.

\lim_{m \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{i=1}^n {[m.r_i]}}{m+n} = \sum_{i=1}^n r_i = 25.

[myhanh]

chinhlh giải mà không sử dụng nguyên tắc Dirichlet rồi!
Với đường thẳng d bất kỳ. Chiếu tất cả các đường tròn nhỏ lên đường kính l của đường tròn lớn vuông góc với d . Mỗi đường tròn nhỏ chiếu lên l thành một đoạn thẳng con nằm trong l. Tổng độ dài các đoạn thẳng này bằng 25. Ta có 25 = 8.3+1. Theo hệ quả thứ 2 của nguyên tắc Dirichlet thì tồn tại ít nhất một điểm M trên l được phủ bởi ít nhất 8+1=9 đoạn con. Từ điểm M này dựng đường thẳng d' vuông góc với l. Rõ ràng d' là đường thẳng thỏa mãn đề bài: song song với d và cắt ít nhất 9 đường tròn con.

[chinhlh]

Đọc bài của anh Myhanh em chợt nhớ đến ngày xưa. Lúc đó em học lớp Toán của thầy Huy. Mỗi bài thầy ra tụi em giải cả tuần, cả trang giấy. Thầy giải có mấy dòng và chỉ trong vài nốt nhạc. Bài sau em sẽ rút kinh nghiệm. Anh hay thật, Ngày xưa anh cũng học trong đội Toán đúng không? Nếu vậy anh là bậc tiền bối rồi. Xin được anh chỉ dạy thêm.

[chinhlh]

Anh Myhanh có cách chứng minh sơ cấp cho hệ quả thứ hai của nguyên lý Dirichlet không? Em chỉ biết kiểu chứng minh dùng tích phân Lesbegue thôi và đây là lĩnh vực toán sơ cấp nên em nghĩ rằng có cách chứng minh đơn giản hơn.

[myhanh]

Đâu có ngày xưa anh có học Toán nhưng anh thi Tin nên không có thời gian khổ luyện nên bây giờ chỉ nhớ bao nhiêu thì xào bấy nhiêu thôi. Anh hồi đó học chỉ biết thôi chứ không chứng minh.

Em chỉ biết kiểu chứng minh dùng tích phân Lesbegue thôi
Là chứng minh như bài trước đó phải không?

[chinhlh]

Dạ không phải. Chứng minh đó sử dụng các kiến thức về độ đo và tích phân Lesbegue. Anh còn bài nào khác không? Em muốn luyện tập thêm. Học một mình buồn lắm. Coi như anh là thầy, tụi em là học trò đi.

[myhanh]

Đâu có thầy trò gì ở đây! Cùng nhau luyện mà!
Bài khác nè:
Cho một hình tròn bán kính R=16 đv. Người ta bố trí 650 điểm trong hình tròn này. Chứng minh rằng chúng ta luôn tìm được một vành tròn có bán kính trong R1=2 đv, bán kính ngoài R2=3 đv chứa không ít hơn 10 điểm.

[chinhlh]

Giả sử X là một điểm trong 650 điểm đã cho. Ta dựng một vành tròn (C) bán kính trong và ngoài là 2 và 3. Khi đó, mỗi điểm trong vành tròn (C) cách X một khoảng cách lớn hơn 2 nhỏ hơn 3. Do đó, làm ngược lại, mọi vành tròn tâm A (A thuộc (C) bất kỳ) đều phủ X.

Tại mỗi điểm trong 650 điểm trên ta có một vành tròn. tất cả chúng nằm trong hình tròn bán kính 19. Tổng diện tích của 650 vành tròn này là 5\pi . 650 . Theo hệ quả 3, tồn tại ít nhất một điểm M được phủ bởi không ít hơn \frac{650.5.\pi}{19^2.\pi} vành tròn, và con số này lớn hơn 9. Cả 10 tâm của 10 vành tròn này đều cách M từ hai đến ba đơn vị.

[chinhlh]

Như vậy là anh Myhanh đã ra đề áp dụng đủ 3 hệ quả rồi. Bài này cũng ghê thật. Em phải đọc kỹ phần lý thuyết phía trước mới giải được. Cách giải cũng giống như bài trước nhưng cần phải suy luận ngó trước ngó sau. Bài của anh rất hay.
Em xin góp thêm một bài (em chưa giải, mới đọc đề thấy hay nên post lên):

Cho S là một tập gồm 101 số nguyên dương khác nhau từ 1 đến 200. Chứng minh rằng có thể chọn ra x,y,z thuộc S sao cho x+y=z.

Ngày xưa, khi em thi HSG quốc gia, người ta ra bài toán tô màu. Đó là một hệ quả của bài toán này. Bây giờ nhìn lại thấy hồi đó mình kém quá.

[myhanh]

Cho S là một tập gồm 101 số nguyên dương từ 1 đến 200. Chứng minh rằng có thể chọn ra x,y,z thuộc S sao cho x+y=z.

Hình như cái đề này không chính xác chinhlh ui!
101 số này phải khác nhau phải không? Vì nếu không
101 số này bằng 1 hết thì lấy đâu ra x,y,z để x+y=Z!

[chinhlh]

Dạ, đúng phải khác nhau. Em ghi thiếu. Thành thật xin lỗi

[myhanh]

Cho anh hỏi cái bài này có liên quan đến nguyên tắc Dirichlet không?

[chinhlh]

Dạ có. Tương tự như vậy em xin đưa ra hai bài toán sau:

Bài 1: Cho A là một tập gồm 10 số tự nhiên khác nhau từ 1 đến 100. Chứng minh rằng có thể lấy ra hai tập con rời nhau của A sau cho tổng của các phần tử của hai tập này là bằng nhau.

Bài 2: Trong mặt phẳng cho 25 điểm. Biết rằng với ba điểm bất kỳ luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng có một hình tròn bán kính 1 mà bên trong hình tròn này có không ít hơn 13 điểm.

[chinhlh]

Anh Myhanh có biết kết quả thi HSG của trường mình đợt vừa rồi không? Và khi nào sẽ tổ chức thi vòng hai? Khi nào có đề, anh post lên cho tụi em tham khảo với.

[myhanh]

Cái đó anh không biết đâu vì cái đề kia là của em anh nhưng nó rớt rùi vòng 1 chỉ có 4 điểm do nó không có kinh nghiệm chiến đấu giải sai dấu, biết không ghi vào bài thi ví dụ bài quỹ tích chỉ cần ghi vào quỹ tích là gì là có 1 điểm rồi.

[myhanh]

Bài 2:
Gọi A là điểm bất kỳ trong 25 điểm trên. Từ A dựng đường tròn tâm A bán kính là 1.
1) Nếu tất cả các điểm còn lại thuộc đường tròn này ta có điều phải chứng minh.
2) Nếu tồn tại điểm B sao cho AB >1. Giả sử tồn tại điểm C trong 23 điểm còn lại mà C nằm ngoài (A,1) và (B,1) ta có AB>1, AC>1, BC>1 mâu thuẫn giả thiết. Vậy ta có 25 điểm nằm trong (A,1) hoặc (B,1). Có 2 cái chuồng với 25 con thỏ vậy có ít nhất một chuồng chứa 13 con thỏ. Đường tròn cần tìm là (A,1) hoặc (B,1).

[chinhlh]

Anh Myhanh giải bài 2 quá chính xác và kỹ lưỡng rồi. Nhưng anh đã gõ thiếu vài chữ : " có ít nhất một chuồng chứa không ít hơn 13 con". Anh Myhanh post tiếp một bài nữa đi. Em đang tìm thêm vài bài toán hay về Dirichlet.

[myhanh]

Bài 1: Số tập con của tập S là 2^{10} =1024 mà tổng của các phần tử trong các tập con này từ 1-1000. Do đó theo nguyên tắc Dirichlet thì có ít nhất là hai tập con có tổng bằng nhau gọi hai tập con này là A và B.
1) nếu A \cap B = \emptyset thì ta có điều phải chứng minh
2) nếu A \cap B \neq \emptyset thì xét hai tập A\B và B\A rõ ràng tổng các phần tử trong hai tập con này bằng nhau và hai tập này rời nhau. Ta có điều phải chứng minh

[chinhlh]

Sao topic này nhìn quanh đi quẩn lại chỉ có vài người tham gia vậy anh Myhanh?

[myhanh]

Ai biết đâu nè!
Biết chết liền hì hì :)

[cobemongmo]

Sao topic này nhìn quanh đi quẩn lại chỉ có vài người tham gia vậy anh Myhanh?
Hichic Tại vì còn nhớ được nhiều bài toán và cách giải toán như anh Myhanh và chinhlh là số hiếm mừ. Với lại cho đề gì đâu mà khó quá trời x-(đọc bài giải còn không hiểu nói chi.................................:eek:

[chinhlh]

Bài tiếp theo:

P.3: Twenty five boys and twenty five girls sit around a table. Prove that it is always possible to find a person both of whose neighbors are girls.

P.4: A person takes at least one aspirin a day for 30 days. If he takes 45 aspirin altogether, in some sequence of consecutive days he takes exactly 14 aspirin.

[chinhlh]

Problem 5
A chess master who has 11 weeks to prepare for a tournament decides to play at least one game every day but, in order not to tire himself, he decides not to play more than 12 games during any calendar week. Show that there exists a succession of consecutive days during which the chess master will have played exactly 21 games.

[myhanh]

Solution for problem 3:
We use contradiction method to prove the statement.
We propose that there is a sitting arrangement so that no one sits between two girls. A group of people who are same gender and sitting between two another gender people is called a block. Because of our proposal, a girl block has at most 2 girls and there are at least two boys sitting between 2 consective girl blocks. We have 25 girls so we have at least \lfloor{\frac{25} 2}\rfloor+1 = 13 girl blocks( the pigeon hole priciple applied). We have at least 13 girl blocks so we need at least 13 x 2=26 boys. Contradiction!

[chinhlh]

An excellent solution!

[myhanh]

Solution for problem 4:
We call a_i is the total aspirin he take from the first day to the i^{th} day ( including the the i^{th} day)(i=\bar{1,30}).
Now we consider 60 numbers below:
a_1, a_2,...,a_{30},a_1+14,a_2+14, ..., a_{30}+14
All they are positive and less than 45 + 14 = 59.
60 = 1. 59 +1
We apply the pigeon hole priciple we have 1+1=2 numbers of them are equal.
He take at least one aspirin a day so all a_i (i=\bar{1,30}) are different. Because all a_i (i=\bar{1,30}) are different so a_i +14 (i=\bar{1,30}) are different. Therefore \exists m,n: m< n, 1\leq n,m\leq 30, a_n = a_m+14.
Utimately, we have the consective days m+1, m+2, ...,n he takes 14 aspirins.

[myhanh]

Problem 5 is same as problem 4!

[myhanh]

Cho khu đất hình chữ nhật có diện tích 70 x 70 m^2. Người ta định cho xây dựng ba ngôi nhà cao tầng. Mỗi ngôi nhà có móng hình chữ nhật diện tích lần lượt là 20 x 10 m^2, 15 x 15 m^2, 30 x 30 m^2. Ngoài ra người ta sẽ xây hai sân chơi hình tròn có đường kính 10m. Chứng minh rằng người ta còn có thể xây thêm được một bồn hoa hình tròn có đường kính 10 m trên khu đất này sau khi đã xây dựng xong các hạng mục trên.

[myhanh]

Trên một tờ giấy hình tròn có bán kính 100 cm có 9800 cái lỗ kim châm. Chứng minh rằng từ tờ giấy này người ta có thể cắt ra một hình tròn bán kính 1 cm không chứa lỗ kim châm nào cả.

[chinhlh]

The last two problems are similar to the problem of the annulus :

There are 650 special points inside a circle of radius 16. You have a flat washer in the shape of an annulus (the region between two concentric circles), which has an inside radius of 2 and an outside radius of 3. Show that it is always possible to place the washer so that it covers up at least 10 of the special points.

[myhanh]

This prolem is same as the one you gave the solution! Thanx

[chinhlh]

Xét đường tròn đồng tâm, bán kính 99 cm. Tại mỗi điểm trong 9800 điểm đã cho ta dựng một hình tròn bán kính 1cm. Tổng diện tích của các hình tròn này là 9800\pi nhỏ hơn diện tích của hình tròn 99cm. Theo hệ quả 3, 9800 hình tròn này không phủ hết được hình tròn 99cm. Ta tìm được một điểm nằm trong hình tròn 99cm mà khonảng cách từ nó đến 9800 điểm còn lại đều lớn hơn 1cm.

[chinhlh]

Bài toán xây nhà được giải tương tự như bài toán trên.

Xét hình vuông cạnh 60m, tâm là tâm của hình vuông lớn 70m.

Vẽ hình vuông cạnh 40m, tâm là tâm của hình vuông 30, (Mọi điểm nằm bên ngoài hình vuông này đều có thể dùng làm tâm để xây dựng một hình tròn đường kính 10m mà không cắt hình vuông 40m ấy). Xét A_1 là phần bù của HV 40m trong HV 60m. Diện tích của A_1 không nhỏ hơn a_1=(60^2-40^2).

Vẽ hình chữ nhật 30x20, tâm là tâm của hình chữ nhật 20x10, và A_2 là phần bù của nó trong HV 60m. Diện tích của A_2 không nhỏ hơn a_2=(60^2-600).

Vẽ hình vuông cạnh 25m, tâm là tâm của hình vuông 15x15. Diện tích của A_3 không nhỏ hơn a_3=(60^2-25^2).

Vẽ hai hình tròn lần lượt cùng tâm với hai hình tròn đường kính 10m và có bán kính là 10m. Diện tích của A_4 cũng như A_5 không nhỏ hơn a_4=a_5=60^2-100\pi.

Theo hệ quả 3 tồn tại một điểm được phủ bởi không ít hơn \frac{(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)}{60^2} hình trong số 5 hình A_ivừa dựng. Con số này lớn hơn 4. Hình tròn bán kính 5m tâm là điểm vừa tìm được, nằm hoàn toàn trong hình vuông 70m và không cắt bất kỳ hạng mục nào đã dựng.

[myhanh]

Bài này tất cả điều hay nhưng trong phép tính lân cận ( lân cận trong và lân cận ngoài) của hcn chưa đúng. Nó không phải là đường tròn tâm của hcn đâu. Hên là cuối cùng kết quả vẫn đúng!

[chinhlh]

À, em sai c ngay từ đều rồi. Cảm ơn anh. Em sẽ sửa lại

[myhanh]

Gọi N(H,r) là hình tạo thành từ hình H và lân cận ngoài của hình H bán kính r. Ta gọi A, B, C, D, E lần lượt là các hình chữ nhật diện tích 20 x 10 m^2, 15x15 m^2, 30 x 30 m^2 và hai hình tròn bán kính 10 m.
Gọi S(A) là diện tích hình A. Ta có:
S(N(A,5))=20.10+ 2.5.20+2.5.10+4 (\frac1 4 .5^2.\pi)=500+25\pi (m^2)
S(N(B,5))=15.15+4(5.15)+4 (\frac1 4 .5^2.\pi)=525+25\pi(m^2)
S(N(C,5))=30.30+4(5.15)+4 (\frac1 4 .5^2.\pi)=1200+25\pi(m^2)
S(N(D,5))=S(N(E,5))=(5+5)^2\pi=100\pi(m^2)
Vậy tổng diện tích S là:
SS=S(N(A,5))+S(N(B,5))+S(N(C,5))+S(N(D,5))+S(N(E,5 ))=
=(500+25\pi)+(525+25\pi)+(1200+25\pi)+2.100\pi=
=2225+275\pi (m^2)
Gọi T(H,r) là hình tạo thành từ hình H và bỏ đi lân cận trong của hình H.
Gọi F là hcn diện tích 70x70 m^2.
Ta có
S=S(T(F,5))=(70-10)(70-10)=3600 (m^2)
S-SS=3600-(2225+275\pi)=1375-275\pi >0
Áp dụng hệ quả 3 ta có: Tồn tại điểm M để từ đây ta có thể dựng đường tròn đường kính 10 m thõa mãn đề bài.

[chinhlh]

Cho khu đất hình chữ nhật có diện tích 70 x 70 m^2. Người ta định cho xây dựng ba ngôi nhà cao tầng. Mỗi ngôi nhà có móng hình chữ nhật diện tích lần lượt là 20 x 10 m^2, 15 x 15 m^2, 30 x 30 m^2. Ngoài ra người ta sẽ xây hai sân chơi hình tròn có đường kính 10m. Chứng minh rằng người ta còn có thể xây thêm được một bồn hoa hình tròn có đường kính 10 m trên khu đất này sau khi đã xây dựng xong các hạng mục trên.

Ở đây anh ghi là đường kính 10m. Nếu là đường kính thì bài này còn "lỏng" chưa chặt, cho nên giải kiểu như em vẫn đúng. Bây giờ đổi thành bán kính thì phải giải kiểu của anh thôi. Ý tưởng của hai lời giải này là giống nhau.

[myhanh]

Không đâu! Anh đang giải với đường kính bằng 10 m đấy chứ không phải bán kính!

[chinhlh]

Dựa trên hai cách giải đã có, em đưa ra bài toán tương tự nhưng nghiêm ngặt hơn như sau:

Cho khu đất hình chữ nhật có diện tích 70 x 70 http://www.forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?m^2. Người ta định cho xây dựng ba ngôi nhà cao tầng. Mỗi ngôi nhà có móng hình chữ nhật diện tích lần lượt là 20 x 10 http://www.forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?m^2, 15 x 15 http://www.forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?m^2, 30 x 30 http://www.forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?m^2. Ngoài ra người ta sẽ xây 3 sân chơi hình tròn có đường kính 10m. Chứng minh rằng người ta còn có thể xây thêm được một bồn hoa hình tròn có đường kính 10 m trên khu đất này sau khi đã xây dựng xong các hạng mục trên.

Đối với bài toán này, giải theo kiểu ban đầu hơi lãng phí, nên sẽ ra số nhỏ hơn 6. Tuy nhiên cách giải sau tiết kiệm hơn và cho ra kết quả đúng.
Cảm ơn anh đã chỉ rõ, anh còn bài nào khác không?

[chinhlh]

Hôm nay anh Myhanh về quê có mang lên cho anh em bài toán nào nữa không?

[myhanh]

Hì hì muốn thì có đây nhưng khá cơ bản:
Cho hình vuông có chu vi bằng 38 cm. Trong hình vuông này người ta bố trí 100 đa giác lồi , mỗi đa giác có diện tích không quá \pi cm^2, chu vi bằng 2\pi cm. Chứng minh rằng trong hình vuông đã cho tồn tại một hình tròn bán kính 1 cm không cắt đa giác nào.

[myhanh]

Bài nữa nha:
Trong hình chữ nhật diện tích 10 x20 dvdt có 132 đoạn thẳng chiều dài 1 đv. Chứng minh rằng có thể tìm được trên hai đoạn thẳng khác nhau 2 điểm có khoảng cách không quá 1 đv.

[chinhlh]

Thì anh post bài cơ bản thôi, chứ khó quá sao em làm nổi.

[chinhlh]

Bài 1 giống y như bài toán xây biệt thự mà anh đã post, nhưng ở đây cần phải am hiểu cách dựng lân cận ngoài. Nếu làm thô bạo rừng rú thì không ra.
Bên ngoài mỗi cạnh của đa giác ta dựng một hình chữ nhật ( hcn này có cạnh mới dài 1cm). Ở mỗi đỉnh ta dựng hình tròn, nhưng chỉ lấy một phần nhỏ. Tổng số đo các góc nhỏ này là 360độ. Diện tích của mỗi lân cận ngoài là :
\pi+2\pi+\pi.
Như vậy, diện tích của 100 lân cận ngoài là 400\pi nhỏ hơn diện tích của hình vuông cạnh 36cm.

[chinhlh]

Bài thứ 2 cũng giống y như vậy anh ơi. Lân cận ngoài của một đoạn thẳng dài 1cm là hình vuông cạnh 1cm cộng với hai nửa hình tròn đường kính 1cm ở hai đầu. Diện tích của 132 lân cận ngoài là a=132(1+\pi/4). Diện tích của lân cận ngoài của hình chữ nhật 10x20 là b=10.20+10+20+\pi/4. Vì a>b nên có ít nhất 2 lân cận cắt nhau.

[myhanh]

Hì hì! Cả hai bài giải rất hay

[chinhlh]

Anh Myhanh đang post tiếp bài khác nữa phải không? Kho tài nguyên của anh sao mà dồi dào quá vậy? Em sẽ cố gắng bòn rút bớt.

[BS gau]

Có 2002 quả bóng được đánh số từ 1 đến 2002 và được tô bởi 1 trong 6 màu: xanh, đỏ, tím, vàng, đen, trắng. CM có 2 quả cùng màu mà STT quả này gấp đôi STT quả kia, hoặc có 3 quả cùng màu mà STT 1 quả bằng tổng STT 2 quả kia

[chinhlh]

Bài này có thể được giải bằng một cách thô bạo như sau:
1. Có ít nhất 334 số được tô cùng màu, ta gọi tập hợp các số này là X_1. Đối với một tập hợp số tự nhiên X ta ký hiệu f(X)=\{a-b: a,b\in X, a>b\} và g(X)=\{a-minX: a\in X, a> minX \}.
2. Nếu f(X_1) và X_1 giao nhau thì ok. Nếu không thì xét X_2=g(X_1) và tiếp tục suy luận. Để ý rằng X_2\cup f(X_2) \subset f(X_1).

[Le.Giang]

anh Chinh khóa 2000 đang học cao học tại Pháp, em cũng vừa được biết!