Gem
26-07-2007, 11:09 PM
IOM 48 ( Vô địch Toán Quốc Tế lần thứ 48 ) được tổ chứ tại VN .
Đại diện VN gồm :
1-Đỗ Xuân Bách (KHTN-HN, lớp 12)
2-Phạm Duy Tùng (KHTN-HN, lớp 11)
3-Phạm Thành Thái (Hải Dương, lớp 12)
4-Nguyễn Xuân Trường (Vĩnh Phúc, lớp 12)
5-Đặng Ngọc Thanh( Quảng Bình, lớp 12)
6-Lê Ngọc Sơn ( Bắc Giang, lớp 11)
Sau đây là đề thi :
Bài 1: Cho các số thực dương http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?a_1,a_2,...,a_n. Với mỗi http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?i,%20%5C%20%281%20%5Cleq%201%20%5Cleq% 20n%29, ta định nghĩa http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?d_%7Bi%7D=%20%5Cmax%20%5C%7B%20a_%7Bj% 7D%5Cmid%201%20%5Cleq%20j%20%5Cleq%20i%20%5C%7D-%5Cmin%20%5C%7B%20a_%7Bj%7D%5Cmid%20i%20%5Cleq%20j %20%5Cleq%20n%20%5C%7D. Đặt http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?d_i=max%5C%7Bd_i%7C1%20%5Cleq%20i%20%5 Cleq%20n%5C%7D.
a. Chứng minh rằng, với mọi bộ số thực http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?x_1%20%5Cleq%20x_2%20%5Cleq%20...%20%5 Cleq%20x_n, ta có http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?%5Cmax%20%5C%7B%20%7Cx_%7Bi%7D-a_%7Bi%7D%7C%20%5Cmid%201%20%5Cleq%20i%20%5Cleq%20 n%20%5C%7D%5Cgeq%20%5Cfrac%7Bd%7D%7B2%7D.%20%5Cqua d%20%5Cquad%20%28*%29
b. Chứng minh rằng tồn tại bộ số thực http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?x_1%20%5Cleq%20x_2%20%5Cleq%20...%20%5 Cleq%20x_n để dấu bằng trong http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?%28*%29 xảy ra.
Bài 2: Cho hình bình hành http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?ABCD và một điểm http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?E thoả mãn tứ giác http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?BCED nội tiếp. http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?l là một đường thẳng qua http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?A cắt đoạn thẳng http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?DC ở http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?F và đường thẳng http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?BC ở http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?G. Giả sử http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?EF=EG=EC. Chứng minh http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?l là phân giác góc http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?%5Chat%7BDAB%7D
Bài 3: Trong một cuộc thi Toán có một số thí sinh là bạn của nhau. Chúng ta gọi một nhóm các thí sinh là một clique nếu như hai người bất kì trong số họ là bạn của nhau. Gọi số thí sinh trong một clique là độ lớn của clique đó. Giả sử rằng độ lớn lớn nhất của một clique là một số chẵn các thí sinh. Chứng minh rằng các thí sinh tham dự cuộc thi có thể được chia vào hai căn phòng sao cho độ lớn lớn nhất của clique phòng này bằng độ lớn lớn nhất của clique phòng kia.
Bài 4: Trong tam giác http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?ABC, phân giác của góc http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?%5Chat%7BBCA%7D cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?R và cắt trung trực của http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?BC,CA theo thứ tự tại http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?P,Q. Gọi http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?K,L theo thứ tự là trung điểm http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?BC,CA. CMR http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?S_%7B%5Ctriangle%20RPK%7D=S_%7B%5Ctria ngle%20RQL%7D
Bài 5: Cho http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?a,b%5Cin%5Cmathbb%20%7BN%7D%5E%7B%5Cst ar%7D. CMR nếu http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?%284a%5E2-1%29%5E2%5C;%5Cvdots%5C;4ab-1 thì http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?a=b.
Bài 6: Cho số nguyên dương http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?n. Xét tập hợp http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?S=%5C%7B%28x;y;z%29%5C;%7C%5C;x,y,z%5C in%5C%7B0,1,2,%5Cldots,n%5C%7D,x+y+z%3E0%5C%7D gồm http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?%28n+1%29%5E3-1 điểm trong không gian (ba chiều). Xác định số nhỏ nhất có thể được các mặt phẳng mà hợp của chúng có thể chứa http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?S nhưng không chứa điểm http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?%280;0;0%29
Nguồn :
http://mathnfriend.org/index.php?showtopic=13504
Đại diện VN gồm :
1-Đỗ Xuân Bách (KHTN-HN, lớp 12)
2-Phạm Duy Tùng (KHTN-HN, lớp 11)
3-Phạm Thành Thái (Hải Dương, lớp 12)
4-Nguyễn Xuân Trường (Vĩnh Phúc, lớp 12)
5-Đặng Ngọc Thanh( Quảng Bình, lớp 12)
6-Lê Ngọc Sơn ( Bắc Giang, lớp 11)
Sau đây là đề thi :
Bài 1: Cho các số thực dương http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?a_1,a_2,...,a_n. Với mỗi http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?i,%20%5C%20%281%20%5Cleq%201%20%5Cleq% 20n%29, ta định nghĩa http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?d_%7Bi%7D=%20%5Cmax%20%5C%7B%20a_%7Bj% 7D%5Cmid%201%20%5Cleq%20j%20%5Cleq%20i%20%5C%7D-%5Cmin%20%5C%7B%20a_%7Bj%7D%5Cmid%20i%20%5Cleq%20j %20%5Cleq%20n%20%5C%7D. Đặt http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?d_i=max%5C%7Bd_i%7C1%20%5Cleq%20i%20%5 Cleq%20n%5C%7D.
a. Chứng minh rằng, với mọi bộ số thực http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?x_1%20%5Cleq%20x_2%20%5Cleq%20...%20%5 Cleq%20x_n, ta có http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?%5Cmax%20%5C%7B%20%7Cx_%7Bi%7D-a_%7Bi%7D%7C%20%5Cmid%201%20%5Cleq%20i%20%5Cleq%20 n%20%5C%7D%5Cgeq%20%5Cfrac%7Bd%7D%7B2%7D.%20%5Cqua d%20%5Cquad%20%28*%29
b. Chứng minh rằng tồn tại bộ số thực http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?x_1%20%5Cleq%20x_2%20%5Cleq%20...%20%5 Cleq%20x_n để dấu bằng trong http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?%28*%29 xảy ra.
Bài 2: Cho hình bình hành http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?ABCD và một điểm http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?E thoả mãn tứ giác http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?BCED nội tiếp. http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?l là một đường thẳng qua http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?A cắt đoạn thẳng http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?DC ở http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?F và đường thẳng http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?BC ở http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?G. Giả sử http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?EF=EG=EC. Chứng minh http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?l là phân giác góc http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?%5Chat%7BDAB%7D
Bài 3: Trong một cuộc thi Toán có một số thí sinh là bạn của nhau. Chúng ta gọi một nhóm các thí sinh là một clique nếu như hai người bất kì trong số họ là bạn của nhau. Gọi số thí sinh trong một clique là độ lớn của clique đó. Giả sử rằng độ lớn lớn nhất của một clique là một số chẵn các thí sinh. Chứng minh rằng các thí sinh tham dự cuộc thi có thể được chia vào hai căn phòng sao cho độ lớn lớn nhất của clique phòng này bằng độ lớn lớn nhất của clique phòng kia.
Bài 4: Trong tam giác http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?ABC, phân giác của góc http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?%5Chat%7BBCA%7D cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?R và cắt trung trực của http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?BC,CA theo thứ tự tại http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?P,Q. Gọi http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?K,L theo thứ tự là trung điểm http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?BC,CA. CMR http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?S_%7B%5Ctriangle%20RPK%7D=S_%7B%5Ctria ngle%20RQL%7D
Bài 5: Cho http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?a,b%5Cin%5Cmathbb%20%7BN%7D%5E%7B%5Cst ar%7D. CMR nếu http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?%284a%5E2-1%29%5E2%5C;%5Cvdots%5C;4ab-1 thì http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?a=b.
Bài 6: Cho số nguyên dương http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?n. Xét tập hợp http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?S=%5C%7B%28x;y;z%29%5C;%7C%5C;x,y,z%5C in%5C%7B0,1,2,%5Cldots,n%5C%7D,x+y+z%3E0%5C%7D gồm http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?%28n+1%29%5E3-1 điểm trong không gian (ba chiều). Xác định số nhỏ nhất có thể được các mặt phẳng mà hợp của chúng có thể chứa http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?S nhưng không chứa điểm http://njet.oops.jp/cgi/mimetex.cgi?%280;0;0%29
Nguồn :
http://mathnfriend.org/index.php?showtopic=13504