Thử tài toán học

[myhanh]

Lang thang vào cái diễn đàn này nhớ những ngày myhanh ngồi ở ghế nhà trường, khi đó myhanh trong đội Toán-Tin, dùi mài không biết bao nhiêu bài toán nhưng cuối cùng lại chọn Tin học mà thi. Bỏ lâu quá rồi lục nghề hôm nay có một bài toán nhỏ mời cao thủ nào ẩn danh thì hãy cùng myhanh giải cho vui nha.
Bài toán như sau:
Tìm x sao cho
x^3-3x = sqrt(x+2).
Nhìn vào thì thấy rõ ràng x =2 là một nghiệm rồi liệu có còn nghiệm nào khác không và tìm nó như thế nào? Xin mời cao thủ xuất chiêu đi!

[kienvang]

myhanh làm Kiến nhớ đến hồi mình còn trỏng đội Toán , hồi đó kiến rất thích mấy bài PT- BPT và nhất là Bất đẵng thức , và Kiến thích thầy Huy dạy về môn này nhất .

Hồi đó Kiến có cuốn Tìm Tòi để học Toán do SV Lê Quang Nẫm viết ( cuốn sách đầu tay của 1 SV viết về chuyên ngành ) và Kiến rất thích anh chàng này , trong đó có mấy đề thi Toán Châu Á -TBD mà Nẫm có thể " chỉnh " lại cho nó đúng hơn . Cuốn sách nêu lên những suy nghĩ , cách giải khác và những bổ đề của Nẫm rất khác biệt với những gì được cho là " chân phương " trước đây .

Cuốn sách này được Kiến tặng cho thầy Huy .

Trở lại đề tài của myhanh : bài toán nhìn vậy chứ ko đơn giản , chỗ khó là giải quyết cái căn 2 và cái mũ 3 .

Kiến chỉ xin nói lên đk cơ bản bài toán : x>=3 mà thui , hông biết đúng hôn nữa

[chinhlh]

Bài toán này chuyển sang lượng giác để giải. Bạn nào học lớp Toán của thầy Huy thì chắc là đã biết rồi.

[chinhlh]

Đã lâu rồi không được cùng anh Myhanh đàm đạo. Hôm nay lên diễn đàn thấy anh Phan Phương nhắc đến sự thiếu vắng của các bài viết mang tính học thuật nên em cũng muốn post vài bài cho có hương vị coi như góp thêm chút xíu mắm muối. Hai bài này đặc biệt dành tặng các bạn học sinh trong đội Toán vì chắc là các anh chị khác đã lâu rồi không còn nhớ nữa. Trong khi đó người rất giỏi Toán trên diễn đàn, anh Myhanh, thì vừa mới cưới vợ nên e rằng phong độ sa sút...hihi.

Bài 1: Cho a,b,c là 3 số thực không âm có tổng không lớn hơn 1. Tìm giá trị lớn nhất của a^{2008}b+b^{2008}c+c^{2008}a.

Bài 2: Tìm tất cả các hàm số f\,:\,\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn
f(x^{2009}+y^{2009})=x^{2008}f(x)+y^{2008}f(y)\,,\ ,\forall x,y\in \mathbb{R}.

[myhanh]

Hehe bác chinhlh cứ nói vậy hà. Thử bài số 2 nha:
Cho x=y=0 ta có ngay f(0)=0.
Cho x=-y <>0 ta có f(x)=-f(-x). Từ đây suy ra ngay f(x)=x.

[chinhlh]

Suy ra ngay bằng cách nào vậy anh? Anh có thể giải thích rõ hơn không??

[myhanh]

Mình nhớ khi học giải phương trình hàm. Một hàm số có tính chất:
f(x)=-f(-x) với mọi x thuộc R thì có kết quả f(x)=x. Còn chứng minh thì không nhớ rõ nữa! Hehe

[chinhlh]

Với dữ kiện đó mình chỉ suy ra f là hàm lẻ thôi. Ví dụ như hàm f(x)=x^3 hay f(x)=x^{2007} chẳng hạn.

[myhanh]

Uh lâu ngày quá chắc quên rùi đó!

[myhanh]

Bài 2: Tìm tất cả các hàm số f\,:\,\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn
f(x^{2009}+y^{2009})=x^{2008}f(x)+y^{2008}f(y)\,,\ ,\forall x,y\in \mathbb{R}.
cho x=y=0 ta có f(0)=0
cho x=-y ta có f(x)=-f(-x)
cho y=0 ta có f(x^{2009})=x^{2008}f(x)
cho y=1 ta có f(x^{2009}+1)=x^{2008}f(x)+f(1)(1)
Vậy ta có f(1)=f(x^{2009}+1)-f(x^{2009})
Đặt t=x^{2009}
Ta có:f(t+1)-f(t)=f(1)
\Leftrightarrow f(t+1)=f(t)+f(1)
(1)\Rightarrow f(x^{2009})=x^{2008}f(x)
Từ đây ta suy ra f(x+y)=f(x)+f(y)(2)
Đến đây ko biết tiếp như thế nào mà thấy quen quá
Đáp án chắc là f(x)=Cx C là hằng số

[HuuXuan96A]

Wow, mấy đại ca phong độ thiệt. >:D<
giờ chỉ cần đọc mấy cái kí hiệu đó, là em nhức đầu chóng mặt rùi...amen...:">

[chinhlh]

cho x=y=0 ta có f(0)=0
cho x=-y ta có f(x)=-f(-x)
cho y=0 ta có f(x^{2009})=x^{2008}f(x)
cho y=1 ta có f(x^{2009}+1)=x^{2008}f(x)+f(1)(1)
Vậy ta có f(1)=f(x^{2009}+1)-f(x^{2009})
Đặt t=x^{2009}
Ta có:f(t+1)-f(t)=f(1)
\Leftrightarrow f(t+1)=f(t)+f(1)
(1)\Rightarrow f(x^{2009})=x^{2008}f(x)
Từ đây ta suy ra f(x+y)=f(x)+f(y)(2)
Đến đây ko biết tiếp như thế nào mà thấy quen quá
Đáp án chắc là f(x)=Cx C là hằng số

Đáp án thì đúng là như vậy. Chúng ta đều biết rằng đẳng thức f(x+y)=f(x)+f(y) cùng với tính liên tục hoặc đơn điệu của f sẽ cho kết quả trên. Nhưng ở đề bài không có hai giả thiết này. Như vậy bài toán vẫn chưa được giải xong.
Em đã sai lầm. Anh Myhanh vẫn còn rất nhạy bén dù đã lên xe hoa!!!:hehe:

[sauvuongynhac]

Em đã sai lầm. Anh Myhanh vẫn còn rất nhạy bén dù đã lên xe hoa!!!:hehe:

Sai lầm là đúng rồi. Lên xe hoa tức là MH có thêm 1 quyền trợ giúp. :D

[BS gau]

Chứng minh rằng nếu a, b, c là 3 cạnh của một tam giác tương ứng với các đỉnh A, B, C thì:
(a+b-2c)/sin(C/2) + (b+c-2a)/sin(A/2) + (c+a-2b)/sin(B/2) >=0

[chinhlh]

Đề post lộn dấu rồi??? Dấu <= mới đúng và bài toán cũng không khó.

[Le.Giang]

Chứng minh rằng nếu a, b, c là 3 cạnh của một tam giác tương ứng với các đỉnh A, B, C thì:

\frac{a+b-2c}{sin(\frac{C}{2})} + \frac{b+c-2a}{sin(\frac{A}{2})} + \frac{c+a-2b}{sin(\frac{B}{2})} >=0

[chinhlh]

À không nếu là sin A/2 nằm ở dưới thì dấu >= mới đúng. Lúc đầu cứ tưởng nó nằm trên không hà. Bài này mình không giải vì mình giải ra rồi BSGau sẽ thấy khó chịu với bản thân. "Bài như thế mà mình lại không làm được, tức quá",có thể BS Gau sẽ suy nghĩ như vậy.